第二边值问题，也称为 Newmann 边值问题。它是函数在边界上没有变化量的条件，在热传导方程的实际问题里，就是在边界上没有热量的交换。在数学上的表示，是函数在边界上的导数为 \(0\)。
第二边值问题的分离变量法，与第一边值的分离变量法，思想是一样的。就是将假设未知函数可以写成变量分离的形式，然后代入到方程里去，从而求出解的方法。
1，考虑初边值问题：
\begin{cases}u_t=c^2u_{xx},\quad & 0<x<L, t>0\\ u(x,0)=\phi(x),& 0<x<L\\ \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0,\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0,&t>0\end{cases}
这样的边界条件称为第二边界条件，也称为 Newman 边界条件。
2，分离变量法：我们设 \(u(x,t)=T(t)X(x)\)，代入方程， 我们得到
\[T'(t)X(x)=c^2T(x)X^{\prime\prime}(x)\]
两边除以 \(c^2T(t)X(x)\)，得到 \[\frac{T'(t)}{c^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}\]
因为左边只跟 \(t\) 有关，右边只跟 \(x\) 有关，要使得它们相等，只能是两边都是常数，我们设这个常数为 \(-\lambda\)，也就是
\[\frac{T'(t)}{c^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda\]
现在我们得到了两个方程
\[\frac{T'(t)}{c^2T(t)}=-\lambda\]
\[\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)}=-\lambda\]
3，解 \(X(x)\)。由原方程的边界条件，我们得到
\begin{cases}X^{\prime\prime}(x)+\lambda X(x)=0\\ X'(0)=0, X'(L)=0\end{cases}
现在我们考虑三种情况：
（1）\(\lambda<0\)，由二阶常微分方程理论，我们得到
\[X(x)=C_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x}\]
代入边界条件，我们得到 \(C_1=C_2=0\)，所以 \(\lambda <0\) 不是特征值。
（２）\(\lambda=0\)，我们得到 \[X^{\prime\prime}(x)=0\]
积分两次，得到 \[X(x)=Ax+B\]
代入边界条件，得到 \(B=0\)，所以 \(X=A\) 是特征函数。
（3）\(\lambda>0\)，由二阶常微分方程理论，我们得到
\[X(x)=C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x\]
代入边界条件，我们得到
\[c_2=0, \sqrt{\lambda}=\frac{n\pi}{l}, \lambda=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2, n=1,2,\cdots\]
我们记 \[X_0=A, X_n=\cos\frac{n\pi x}{l}\]
它们是特征函数。
4，解 \(T(t)\)。\(T(t)\) 满足的方程是
\[\frac{T'(t)}{c^2T(t)}=-\lambda\]
当 \(\lambda=0\) 时，\[\frac{T_0′(t)}{T_0(t)}=0\]
两边积分，得到 \[\ln |T_0(t)|=C\] 再取对数，得到 \(T_0(t)=C\)
当 \(\lambda=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\) 时，
\[\frac{T_n'(t)}{c^2T_n(t)}=-\left(\frac{cn\pi}{l}\right)^2\]
由常微分方程的分离变量法，它的解为
\[T_n(t)=A_ne^{-\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2t}\]
5，原方程的解：由齐次线性微分方程的叠加原理，\(u(x,t)\) 的表达式为
\begin{align*}u(x,t)&=A_0T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^{\infty}A_nT_n(t)X_n(x)\\ &=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{l}\right)^2t}\cos\frac{n\pi x}{l}\end{align*}
代入初值条件，
\[u(x,0)=\phi(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\frac{n\pi x}{l}\]
等式右边是傅里叶余弦级数，所以它的系数是
\[A_0=\frac{1}{L}\int_0^L\phi(x)dx,\]
\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx\]
所以原方程的解为
\[u(x,t)=\frac{1}{L}\int_0^L\phi(x)dx+\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{l}\right)^2t}\cos\frac{n\pi x}{l}\]
其中
\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx\]