现在可以来看一些典型方程的求解。首先我们要处理的是一维热传导方程的初边值问题的解。
我们考虑两端恒温的均匀细杆上的热传导问题：
\[\begin{cases}u_t=c^2u_{xx},\quad & 0<x<L,\\ u(x,0)=\phi(x),& 0<x<L,\\ u(0,t)=0, u(L,t)=0,& t>0\end{cases}\]
1，（分离变量法）求解初边值问题的基本方法是分离变量法，就是假设未知函数 \(u(x,t)\) 具有形式 \(u(x,t)=T(t)X(x)\)，就是两个不同变量的函数的乘积。然后将这个形式代入到方程里面去，得到更简单关于 \(T(t)\) 与 \(X(x)\) 的各自的微分方程，从而求出 \(T(t)\) 与 \(X(x)\) ，进一步求出 \(u(x,t)\) 的一种方法。
现在我们将 \( u(x,t)=T(t)X(x) \) 代入方程，得到了
\[T'(t)X(x)=c^2T(t)X’ ‘(x)\]
两边同除以 \( c^2u(x,t)=c^2T(t)X(x) \)，就有 \[\frac{T'(t)}{c^2T(t)}=\frac{X’ ‘(x)}{X(x)}\]
因为左边是关于 \(t\) 的函数，右边是关于 \(x\) 的函数，要使得两边相等，只有两边都等于常数，我们将这个常数记为 \(-\lambda\)（为什么是负号，我们之后会解释）。也就是说
\[ \frac{T'(t)}{c^2T(t)}=\frac{X^{\prime\prime}(x)}{X(x)} =-\lambda.\]
所以我们就得到了两个方程
\[ \frac{T'(t)}{c^2T(t)}= -\lambda ,\qquad \frac{X ^{\prime\prime} (x)}{X(x)}=-\lambda.\]
由边值条件，我们得到了关于 \(X(x)\) 的微分方程
\[\begin{cases}X ^{\prime\prime} (x)+\lambda X(x)=0\\ X(0)=0,\quad X(L)=0.\end{cases}\]
这是一个二阶常系数微分方程的特征值问题。我们先回顾一下二阶常系数微分方程的解的理论。
2，二阶常系数微分方程：\[y^{\prime\prime}+py’+qy=0\]
的特征方程为 \[r^2+pr+q=0\]
它的解分三种情况：
（1）\(r_1\ne r_2\) 都是实数，则原微分方程的通解为
\[y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x};\]
（2）\(r_1=r_2=r\)，则原微分方程的通解为 \[y=(C_1+C_2x)e^{rx};\]
（3）\(r=\alpha+i\beta\)，其中 \(\alpha,\beta\) 都是实数，则原微分方程的通解为 \[y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))\]
3，特征值问题的解：现在我们来解特征值问题
\[\begin{cases}X ^{\prime\prime} (x)+\lambda X(x)=0\\ X(0)=0,\quad X(L)=0.\end{cases}\]
我们分三种情况考虑：
（1）\(\lambda<0\)：那么特征方程 \(r^2+\lambda=0\) 的解为 \[r_1=\sqrt{-\lambda}, r_2=-\sqrt{-\lambda}\]
从而方程的解为 \[X(x)= C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}. \]
代入边值条件 \(X(0)=0, X(L)=0\)，我们得到 \(C_1=0,C_2=0\)，从而 \(X(x)=0\)，只有零解，所以 \(\lambda<0\) 不是方程的特征值，也就是说 \(\lambda\) 不可能为负数。
（2）\(\lambda=0\)：方程变为 \(X^{\prime\prime}=0\)，积分两次，得到它的通解为 \[X(x)=C_1+C_2x。\]
再将边值条件代入，得到 \[C_1=0,C_2=0\]
同样，方程只有零解。也就是说， \(\lambda=0\) 也不是特征值。
（3）\(\lambda>0\)：特征方程 \(r^2+\lambda=0\) 的解为 \(r=\sqrt{\lambda} i\)，微分方程的通解为 \[X(x)=C_1\cos( \sqrt{\lambda} x)+C_2\sin( \sqrt{\lambda} x)\]
代入边值条件 \(X(0)=0\)，我们得到 \(C_1=0\)；再代入条件 \(X(L)=0\)，得到 \[\sin( \sqrt{\lambda} L)=0\]
所以可以得到 \( \sqrt{\lambda} L =n\pi\)，这里 \(n=1,2,\cdots\)；从而我们得到了特征值 \[\lambda=\frac{n^2\pi^2}{L^2}.\]
这里我们看到了只有当 \(\lambda>0\) 时，特征值问题才有解。这就是为什么我们前面设的这个常数前面有个负号的原因。
现在我们得到了一系列的特征值，那么它们所对应的特征函数，我们记为
\[X_n(x)=\sin(\frac{n\pi}{L}x).\]
4，\(T(t)\) 的解：\(\lambda=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\) 时，\(T_n(t)\) 的方程为
\[\frac{T_n'(t)}{T_n(t)}=-\frac{c^2n^2\pi^2}{L^2}\]
它的解为（两边积分，再取 \(e\) 底）\[T_n(t)=e^{ -\frac{c^2n^2\pi^2}{L^2} t}\]
5，方程的通解：所以一系列的函数：
\[T_n(t)X_n(x)= e^{ -\frac{c^2n^2\pi^2}{L^2} t} \sin(\frac{n\pi}{L}x),\quad n=1,2,\cdots \]
都是原方程 \(u_t=c^2u_{xx}\) 的解，由齐次方程解的理论，它们的线性组合
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n e^{ -\frac{c^2n^2\pi^2}{L^2} t} \sin(\frac{n\pi}{L}x) \]
就是方程的通解。
6，初边值问题的解：我们再将方程的初值条件 \(u(x,0)=\phi(x)\) 代入，我们得到
\[u(x,0)=\phi(x)= \sum_{n=1}^{\infty}A_n \sin\frac{n\pi}{L}x \]
我们可以看到，右边是一个傅里叶正弦级数。由傅里叶级数理论，\(A_n\) 就是 \(\phi(x)\) 的傅里叶正弦级数的系数，也就是说
\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\sin \frac{n\pi}{L}x dx\]