非齐次方程，其非齐次项与时间有关的话，我们的基本处理方法是特征函数展开法。由边界条件所对应的特征函数，我们将未知函数与非齐次项都用特征函数展开，然后代入方程与初始条件，求出未知函数中所含有的待定系数，从而求出方程的解的方法。
我们考虑这样的非齐次方程的初边值问题
\begin{cases}u_t=c^2u_{xx}+f(x,t),& t>0, 0<x<L\\ u(0,t)=0, u(L,t)=0, & t>0\\ u(x,0)=g(x), & 0<x<L\end{cases}
根据边值条件，这是第一边值问题，它所对应的特征函数是正弦函数系 \(X_n=\sin\frac{n\pi x}{L}\)，所以我们可以设
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
我们再将非齐次项 \(f(x,t)\) 展开成特征的级数，
\[f(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}, f_n(t)=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x,t)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\]
将它们代入到方程里去，
\[u_t=\sum_{n=1}^{\infty}u’_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}, u_{xx}=-\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sin\frac{n\pi x}{L}\]
所以
\[\sum_{n=1}^{\infty}u’_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}=-c^2\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2\sin\frac{n\pi x}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
移项，得到
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(u’_n(t)+\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2u_n(t)\right)\sin\frac{n\pi x}{L}=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
因为 \(\sin\frac{n\pi x}{L}\) 是正交函数系，要使得两边相等，只能对应的系数相等，也就是说
\[u’_n(t)+\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2u_n(t)=f_n(t)\]
这是一个一阶线性常微分方程，由一阶线性微分方程的解的表达式，我们可以得到
\[u_n(t)=e^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t}\left[\int_0^tf_n(t)e^{\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t}dt+B_n\right]\]
所以原方程的解为
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
这里还有任意常数 \(B_n\)，我们再代入初始条件，
\[u(x,0)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(0)\sin\frac{n\pi x}{L}=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{L}\]
也就是说
\[g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{L}\]
所以 \(B_n\) 是 \(g(x)\) 的傅里叶正纺级数的系数，
\[B_n=\frac{2}{L}\int_0^Lg(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\]
代入到 \(u(x,t)\) 的表达式里去，就得到原方程的解，
\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t}\left[\int_0^tf_n(t)e^{\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t}dt+\frac{2}{L}\int_0^Lg(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\right]\sin\frac{n\pi x}{L}\]