如果边界条件是非齐次的，我们的基本思想是边界条件的齐次化，将边界条件化成齐次的。然后利用分离变量法求解。
我们考虑这样的方程
\begin{cases}u_t=c^2u_{xx},& t>0, 0<x<L\\ u(0,t)=A, u(Lt)=B, &t>0\\ u(x,0)=g(x),&0<x<L\end{cases}
边界条件的齐次化方法：
我们设 \(u=v+w\)，其中 \(v\) 满足边界条件 \(v(0,t)=A, v(L,t)=B\)。因为这里边界条件与时间无关，所以我们也假设 \(v\) 与时间无关，因为 \(v\) 与时间无关，所以 \(v_t=0\)，也就是说 \(v=v(x)\)。这里我们应用稳态解的定义。
1，稳态解：若方程的解与时间无关，即 \(v_t=0\)。我们称这样的解是稳态解。
我们设 \(v\) 是方程的稳态解，则
\[v_{xx}=0,\quad v(x)=C_x+C_2\]
代入边界条件，我们有
\[v(0)=A, A=C_2,\quad v(L)=B, B=C_1 L+A, C_1=\frac{B-A}{L}\]
所以
\[v(x)=\frac{B-A}{L}x+A\]
2，方程的解：我们将 \(u=v+w\) 代入方程与边界条件、初始条件里去，就得到了 \(w=u-v\) 满足的微分方程
\begin{cases}w_t=c^2w_{xx},&t<0, 0<x<L\\ w(0,t)=0, w(L,t)=0,&t>0\\ w(x,0)=g(x)-\frac{B-A}{L}x-A,&0<x<L\end{cases}
这是一个齐次边界条件的齐次热传导方程的第一边值问题，我们只需要像之前一样，应用分离变量法就可以求出它的解。事实上，由我们之前的推导， 我们知道
\[w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2}\sin\frac{n\pi}{L}x\]
其中
\[A_n=\frac{2}{L}\int_0^L(g(x)-\frac{B-A}{L}x-A)\sin\frac{n\pi}{L}xdx\]
那么原方程的解为
\[u=\frac{B-A}{L}x+A+\sum_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2}\sin\frac{n\pi}{L}x\]