如果非齐次边界条件与时间有关，我们的处理方法是边界条件的齐次化。但是齐次化后的函数，满足的方程不再是齐次方程，而是一个非齐次项与时间有关的非齐次方程。然后再利用之前关于非齐次方程的求解方法，来求得原方程的解。
我们考虑这样的初边值问题：
\begin{cases}u_t=c^2u_{xx},& t>0, 0<x<L\\ u(0,t)=\phi(t), u(L,t)=\psi(t), & t>0\\ u(x,0)=g(x), & 0<x<L\end{cases}
我们的方法是边界条件齐次化，就是设
\[u=v+w, v(0,t)=\phi(t), v(L,t)=\psi(t)\]
这样的话，\(w\) 就满足齐次边界条件。这样的 \(v\) 不难找，连接 \(\phi(t),\psi(t)\) 的直线就满足条件，
\[v(x,t)=\frac{\psi(t)-\phi(t)}{L}x+\phi(t)\]
从而可以得到
\[u_t=v_t+w_t=\frac{\psi'(t)-\phi'(t)}{L}x+\phi'(t)+w_t\]
\[u_{xx}=v_{xx}+w_{xx}=w_{xx}\]
所以 \(w\) 满足的初边值问题为
\begin{cases}w_t=c^2w_{xx}-\frac{\psi'(t)-\phi'(t)}{L}x-\phi'(t),& t>0, 0<x<L\\ w(0,t)=0, w(L,t)=0, & t>0\\ w(x,0)=g(x)-\frac{\psi(0)-\phi(0)}{L}x+\phi(0), & 0<x<L\end{cases}
由相容性条件，初始条件也可以写成
\[w(x,0)=g(x)-\frac{g(L)-g(0)}{L}x+\phi(0), 0<x<L\]
这是一个非齐次方程，非齐次项与时间有关。由我们之前对非齐次方程的讨论，它的解是
\[w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}w_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
其中
\[w_n(t)=e^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2t}\left[\int_0^tf_n(\tau)e^{-\left(\frac{cn\pi}{L}\right)^2\tau}d\tau+C_n\right]\]
\[f_n(t)=\frac{2}{L}\int_0^L\left(\frac{\psi(t)-\phi(t)}{L}x+\phi(t)\right)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\]
\[C_n=\frac{2}{L}\int_0^L\left(g(x)-\frac{\psi(0)-\phi(0)}{L}x+\phi(0)\right)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\]
所以原方程的解为
\[u=v+w=\frac{\psi(t)-\phi(t)}{L}x+\phi(t)+\sum_{n=1}^{\infty}w_n(t)\sin\frac{n\pi x}{L}\]
其中 \(w_n(t)\) 由上面的式子给出。