这一节课我们来推导一维和二维的波动方程，就是弦振动方程和膜振动方程。
1，弦振动方程：
我们考虑两端拉紧的、均匀的完全柔性的弦，例如琴弦、吉它弦等等，这些弦的微振动。将弦拨动后，在某个时间点，它可能的位置是
我们来推导它们所满足的方程。
（1）位置函数：我们设 \(u(x,t)\) 为弦的位置函数。我们来导出它的方程。
（2）牛顿定律：我们应用牛顿定律 \(\vec{F}=m\vec{\alpha}\) 来导出 \(u(x,t)\) 的方程。也就是，物体所受的力，等于物体的质量乘以加速度。
（3）力：振动弦所受的力来自于弦的张力。张力相切于弦。如果是均匀的弦，张力的大小是常数，我们记为 \(T_0\)。我们截取 \([x,x+\Delta x]\) 之间的一段弦，考虑这段弦上所受的张力。
因为张力相切于弦，所以，如果水平方向的长度为 \(1\) 的话，垂直方向的长度为 \(u_x\)，而斜边的长度为 \(\sqrt{1+u_x^2}\)。假设弦只是垂直振动，没有水平位移，那么水平方向的上的力相互抵消，总和为零，
\[T_0\frac{1}{\sqrt{1+u_x^2}}\Big|_x^{x+\Delta x}=0\]
垂直方向的力为
\[T_0\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}}\Big|_x^{x+\Delta x}=\int_x^{x+\Delta x}\frac{\partial}{\partial x}\left( T_0\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \right)dx\]
因为是均匀弦，\(T_0\) 是常数；又因为是弦的微振动，\(u_x\) 很小，\(u_x^2\) 更是 \(u_x\) 的高阶无穷小，所以\( 1+u_x^2 \approx 1\)，
\[ \int_x^{x+\Delta x}\frac{\partial}{\partial x}\left( T_0\frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}}\right)dx \approx\int_x^{x+\Delta x}T_0u_{xx}dx\]
（4）加速度：这一段上的加速度 \(m\vec{\alpha}=\int_x^{x+\Delta x}\rho u_{tt}dx\)，因为加速度是关于 \(t\) 的二阶导数。这里的积分是因为这是这一段加速度的总和。
因为截取的是任意一段，所以要使得积分相等，只需要被积分函数相等即可，即
\[\rho u_{tt}=T_0u_{xx}\]
将两边同除以 \(\rho\)，将 \(\frac{T_0}{\rho}\) 记为 \(c^2\)，就得到
\[u_{tt}=c^2u_{xx}\]
这就是弦振动方程。
2，振动膜：考虑二维区域上的一片弹性薄膜，它的垂直振动。例如敲一张鼓，鼓膜就会上下振动。同样，假设薄膜只是垂直振动，没有水平位移。
（1）力：我们同样用牛顿定律来推导位置函数 \(u(x,y,t)\) 所满足的方程。同样，振动膜的力来自于膜的张力。设薄膜的边界曲线方程为 \(C:\vec{r}=\vec(r)(t)\)，它的单位切向量为 \(\vec{r}’\)；膜的单位外法向量为 \(\vec{n}\)，则张力同时垂直于这两个向量，因为直观上看，张力应该向里向下，所以张力的方向为 \(\vec{r}’\times \vec{n}\)。
因为没有水平位移，所以张力在水平方向的总和为零。而张力在垂直方向的总和为
\[\oint_CT_0( \vec{r}’\times \vec{n} )\cdot\vec{k}ds\]
由混合积的公式 \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}\)，再者，我们假设张力 \(T_0\) 为常数，也就是说，膜是均匀的。这样我们就得到了
\[\oint_CT_0( \vec{r}’\times \vec{n} )\cdot\vec{k}ds=\oint_CT_0(\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{r}’ds \]
由 Stokes 定理，注意到 \(T_0\) 是常数，
\[ \oint_CT_0(\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{r}’ds =\iint_AT_0\nabla\times(T_0\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{n}dA\]
现在我们来计算被积函数。因为膜的单位法向量 \(\vec{n}=\frac{(-u_x,-u_y1)}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+1}}\)，当振动很小的时候，\(u_x,u_y\) 很小，它们的平方就更小，是它们各自的高阶无穷小，所以 \(\vec{n}\approx (-u_x,-u_y,1)\)，从而
\[\vec{n}\times \vec{k}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -u_x&-u_y&1\\ 0&0&1\end{vmatrix}=-u_y\vec{i}+u_x\vec{j}\]
所以
\[ \nabla\times(\vec{n}\times \vec{k}) =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ -u_y&u_x&0\end{vmatrix}=(u_{xx}+u_{yy})\vec{k}\]
这样就得到 \( \nabla\times(\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{n} =u_{xx}+u_{yy}\)，所以，膜上作用力为
\[ \oint_CT_0(\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{r}’ds =\iint_AT_0\nabla\times(\vec{n}\times \vec{k})\cdot\vec{n}dA=\iint_A (u_{xx}+u_{yy})dA\]
（2）这一片薄膜上质量乘以加速度的总和为
\[\iint_A\rho u_{tt}dA\]
因为是任意的一块区域，所以要使得积分相同，被积函数应该相等，所以得到
\[\rho u_{tt}=T_0(u_{xx}+u_{yy}）\]
移项就可以得到 \[u_{tt}=c^2\Delta u\] 其中 \(c^2=\frac{T_0}{\rho},\Delta u=u_{xx}+u_{yy}\)。这就是平面薄膜的振动方程。
3，一般的波动方程：弦振动方程是一维的波动方程，膜振动方程是二维的波动方程。我们看到了，膜的振动方程为 \[ u_{tt}=c^2\Delta u \]
在高维的情形，这就是一般的波动方程的形式，只是这里的拉普拉斯算子 \(\Delta\) 就是高维空间的拉普拉斯算子
\[\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_1}+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_2}+\cdots+ \frac{\partial^2 u}{\partial x_n} \]。