1，我们之前说过，数学物理方程，就是由物理学定律导出的偏微分方程。我们常用的物理学定律有：
质量守恒定律：物体质量的变化率=单位时间边界流入的质量+内部生成的质量
却是守恒定律：动量变化率=外力产生的冲量
能量守恒定律：热量的变化率=边界流入的热量+热源生成的热量。
2，均匀细杆上的热传导方程：我们考虑均匀细杆上的热传导过程，假定细杆的侧边绝热，所以可以认为细杆是一维的。
（1）方程的导出：
（i）细杆在区间 \((a,b)\) 上的热能为\[\int_a^bu(x,t)dx\]
其中 \(u(x,t)\) 是温度函数。它关于时间的变化率为
\[\frac{d}{dt}\int_a^bu(x,t)dx=\int_a^bu_t(x,t)dx\]
（ii）假设从 \(a\) 处注入的热量为 \(\varphi(a,t)\)，\(b\) 处流出的热量为 \(\varphi(b,t)\)，内部产生的热量为 \(\displaystyle\int_a^bQ(x,t)dx\);
（iii）由能量守恒律，
\[\int_a^bu_t(x,t)dx=\varphi(a,t)-\varphi(b,t)+\int_a^bQ(x,t)dx=-\int_a^b\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,t)dx+\int_a^bQ(x,t)dx\]
从而可以得到\[u_t=-\varphi_x+Q(x,t)\]
（iv）由傅里叶热力学定律：热能从温度高的地方流向温度低的地方，与温度的梯度方向成反比（从温度高的地方流向温度低的地方），即 \[\varphi=-k_0u_x\] 在高维情形为 \[\varphi=-k_0\nabla u\]
将这个等式代入上面的方程中，\[u_t=-(-k_0u_x)_x+Q(x,t)\]即
\[u_t=k_0u_xx+Q(x,t)\]
如果内部没有热源，则 \(Q(x,t)=0\)，从而热传导方程简化为\[u_t=k_0u_xx\]
因为 \(k_0\) 为正数，它是时间的平方量纲，我们可以将方程写成\[u_t=a^2u_xx\]
有了方程，要完全确定方程的解还需要所谓的定解条件。定解条件一般分为初始条件和边界条件。
（2）初始条件：\(u(x,0)=u_0(x)\)
（3）边界条件：有好几种边界条件，这里我们只介绍一种，给定细杆两端的温度
\[u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t)\]
其它的边界条件我们以后再介绍。
3，高维区域上的热传导方程：由能量守恒定律以及傅里叶热力学定律，
\[\frac{d}{dt}\iiint_Vu(x,y,z,t)dv=-\oint_{\partial V}\vec{\varphi}\cdot\vec{n}dS+\iiint_VQ(x,yx,z,t)dV\]
因为 \(\varphi=-k_0\nabla u\)，再由高斯公式（散度定理），
\begin{align*}-\oint_{\partial V}\vec{\varphi}\cdot\vec{n}dS&=-\iiint_V{\rm div} \vec{\varphi}dV\\ &=-\iiint_V\nabla\cdot\vec{\varphi}dV\\ &=-\iiint_V-k_0\nabla\cdot\nabla udV\\ &=k_0\iiint_V\Delta udV\end{align*}
代入之前的方程，我们有
\[\frac{d}{dt}\iiint_Vu(x,y,z,t)dv=\iiint_V(k_0\Delta u+Q(x,yx,z,t))dV\]
就是 \[\iiint_Vu_t(x,y,z,t)dv=\iiint_V(k_0\Delta u+Q(x,yx,z,t))dV\]
积分号里面部分相等，就得到了热传导方程
\[u_t=k_0\Delta u+Q(x,t)\]
同样，我们可以给出定解条件：初始条件和边界条件。