这一节我们来推导纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。这个方程（组）在一般的数学物理方程课程里是不讲的。这个方程是流体力学的基本方程，也是偏微分方程研究的一门热门领域。克莱数学研究所发布的七个千禧年问题，其中的一个就是纳维-斯托克斯方程。所以这里我们介绍一个这个方程。
我们先来了解一个流体力学的一个基本概念：随体导数
1，随体导数：随体导数的概念，在数学里，其实就是全导数的概念。
一个物理量，一般既是空间位置的函数，也是时间的函数，三维空间里，物理量
\[f=f(x,y,z,t)\]
既是空间坐标的函数，又是时间的函数。
但同时，一个物体在空间中的位置，也是跟时间有关的。所以\[x=x(t),y=y(t),z=z(t)\]
从而物理量\[f=f( x=x(t),y=y(t),z=z(t),t)\]
它对时间的变化率，也就是对时间的导数，由复合函数的求导法则，为
\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt} \]
这就是一个物理量的随体导数。
2，速度向量的随体导数：速度向量既是空间坐标的函数，也是时间的函数，\[\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(u_1(x,y,z,t), u_2(x,y,z,t) , u_3(x,y,z,t) )\]
它的随体导数为
\[ \frac{d\vec{u}}{dt}=\frac{\partial \vec{u} }{\partial t}+ \frac{\partial \vec{u} }{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \vec{u} }{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt} \]
现在我们设质点是沿流线 \(\vec{r}=\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))=(u_1,u_2,u_3)\) 运动，那么由速度与位置函数之间的关系，
\[\vec{u}=\vec{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\]
我们得到速度向量的随体导数的简洁写法
\[ \frac{d\vec{u}}{dt} =\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+u_1\frac{\partial \vec{u}}{\partial x}+ u_2\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}+ u_3\frac{\partial \vec{u}}{\partial z} = \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \]
这里 \[\vec{u}\cdot\nabla=u_1\frac{\partial}{\partial x}+ u_2\frac{\partial}{\partial y} + u_3\frac{\partial}{\partial z} \]
所以，速度向量的随体导数为
\[ \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \]
现在我们可以来推导纳维-斯托克斯方程了。
3，纳维-斯托克斯方程的推导：由动量守恒定律，物体内部动量的变化率，等于作用在物体上的力的总和。
我们先来做一些简化的假设：
（1）设流体是均匀的，其密度 \(\rho\) 是常数；
（2）流体是不可压缩的，所以 \({\rm{div}} \vec{u}=0\);
（3）流体是均质的，其粘性系数 \(\mu\) 是常数。
我们截取流体中的很小的一部分\(V\)（微元），那么在这一部分流体中，它的动量总和为\[\int_V \rho\vec{u}dV\]
它关于时间的变化率为
\[\frac{d}{dt}\int_V \rho\vec{u}dV = \int_V \frac{d}{dt} (\rho\vec{u})dV= \int_V \rho \left( \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right)dV \]
我们截取的是流体的很小的一部分，所以我们可以忽略了它的质量力，仅仅考虑它边界上的面力，作用在流体边界上的面力为
\[\int_{S}\vec{P}_{\vec{n}}dS\]
其中 \( \vec{P}_{\vec{n}} \) 可以表示成 \[ \vec{P}_{\vec{n}} =\vec{P}\cdot\vec{n}\]
这里 \(\vec{P}\) 称为应力张量。由散度定理
\[ \int_{S}\vec{P}_{\vec{n}}dS = \int_{S} \vec{P}\cdot\vec{n} dS =\int_V {\rm div}\vec{P}dV\]
因为流体不可压，
\[ {\rm div}\vec{P} =-\nabla p+\mu\Delta \vec{u}\]
其中 \(p\) 是流体的静压强。所以作用在流体上的力的总和为
\[ \int_V ( -\nabla p+\mu\Delta \vec{u} )dV \]
由动量守恒定律，我们就得到了
\[ \int_V \rho \left( \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right)dV = \int_V ( -\nabla p+\mu\Delta \vec{u} )dV \]
因为是任意截取的流体的一部分，所以上式成立，只能被积函数相等
\[ \rho \left( \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right) = -\nabla p+\mu\Delta \vec{u} \]
两边同除以 \(\rho\)，再用同样的符号表示 \(p,\mu\)，就得到了纳维-斯托克斯方程
\[ \frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+ (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} = -\nabla p+\mu\Delta \vec{u} \]