薛定谔（Schr\(\ddot{\rm o}\)dinger）方程是量子力学里的最重要，也是最基本的方程，它在量子力学里有着具大的应用。虽然大学里的数学物理方程一般不讲这个方程，但是因为现代物理里离不开这个方程，并且因为这个方程的研究是偏微分方程里一个主要的方向，所以在这里我们对这个方程做一个简单的推导。
1，一维薛定谔方程：考虑粒子的一维运动，并且假设粒子是自由粒子，也就是没有外力作用。
（1）设粒子的速度为 \(v\)，动量为 \(p\)，能量为 \(E\)。
（2）经典力学给出关系：\(p=mv, E=\frac{1}{2}mv^2\)，这里 \(m\) 是粒子的质量。由这两个关系式我们得到： \(E=\frac{p^2}{2m}\)。
（3）粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie）假设：存在某个谐波，使得
i：动量与波数成正比：\(p=\hbar k\);
ii：能量与角频率成正比：\(E=\hbar \omega\)。
这里 \(\hbar\) 是普朗克（Plack）常数。
（4）谐波是正弦函数与余弦函数的组合：\(\Phi(x,t)=a\cos(kx-\omega t)+b\sin(kx-\omega t)\)，由欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\)，波函数可以写成\[\Phi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}\]
对 \(\Phi\) 关于 \(t\) 求导，得到 \[\frac{\partial \Phi}{\partial t}=-i\omega \Phi\]
对 \(\Phi\) 关于 \(x\) 求二阶导数，得到 \[\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}=-k^2\Phi\]
这里选择对 \(t\) 求一阶导，而对 \(x\) 求二阶导，是因为这样可以将波粒二象性的两个公式联系起来。我们将\( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \) 的两边乘以 \(\hbar\)，
\[\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t} =-i\hbar\omega\Phi=-iE\Phi\]
将 \( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} \) 两边乘以 \(\hbar^2\)，
\[\hbar^2 \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2 }=-\hbar^2k^2\Phi=-p^2\Phi=-2mE\Phi\]
把两个方程里的 \(E\Phi\) 解出来 ，
\[\frac{\hbar}{-i}\cdot\frac{\partial \Phi}{\partial t}=E\Phi=-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}\]
也就是
\[ i\hbar\frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} \]
这就是一维的薛定谔方程。
2，三维或者一般空间里的薛定谔方程：三维或者一般空间里的薛定谔方程形式为
\[ i\hbar\frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Phi\]
这个方程，我们就不去做详细的推导了。