薛定谔方程的推导

薛定谔（Schr$\ddot{\mathrm{o}}$dinger）方程是量子力学里的最重要，也是最基本的方程，它在量子力学里有着具大的应用。虽然大学里的数学物理方程一般不讲这个方程，但是因为现代物理里离不开这个方程，并且因为这个方程的研究是偏微分方程里一个主要的方向，所以在这里我们对这个方程做一个简单的推导。

1，一维薛定谔方程：考虑粒子的一维运动，并且假设粒子是自由粒子，也就是没有外力作用。

（1）设粒子的速度为 $v$，动量为 $p$，能量为 $E$。

（2）经典力学给出关系：$p=mv,E=\frac{1}{2}m{v}^2$，这里 $m$ 是粒子的质量。由这两个关系式我们得到： $E=\frac{p^2}{2m}$。

（3）粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie）假设：存在某个谐波，使得

i：动量与波数成正比：$p=\hslash k$;

ii：能量与角频率成正比：$E=\hslash \omega$。

这里 $\hslash$ 是普朗克（Plack）常数。

（4）谐波是正弦函数与余弦函数的组合：$\mathrm{\Phi }(x,t)=a\cos (kx-\omega t)+b\sin (kx-\omega t)$，由欧拉公式$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$，波函数可以写成$$\mathrm{\Phi }(x,t)=A{e}^{i(kx-\omega t)}$$

对 $\mathrm{\Phi }$ 关于 $t$ 求导，得到 $$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=-i\omega \mathrm{\Phi }$$

对 $\mathrm{\Phi }$ 关于 $x$ 求二阶导数，得到 $$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}=-k^2\mathrm{\Phi }$$

这里选择对 $t$ 求一阶导，而对 $x$ 求二阶导，是因为这样可以将波粒二象性的两个公式联系起来。我们将$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$ 的两边乘以 $\hslash$，

$$\hslash \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=-i\hslash \omega \mathrm{\Phi }=-iE\mathrm{\Phi }$$

将 $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}$ 两边乘以 ${\hslash }^2$，

$${\hslash }^2\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}=-{\hslash }^2{k}^2\mathrm{\Phi }=-p^2\mathrm{\Phi }=-2mE\mathrm{\Phi }$$

把两个方程里的 $E\mathrm{\Phi }$ 解出来 ，

$$\frac{\hslash }{-i}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=E\mathrm{\Phi }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}$$

也就是

$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial x^2}$$

这就是一维的薛定谔方程。

2，三维或者一般空间里的薛定谔方程：三维或者一般空间里的薛定谔方程形式为

$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$$

这个方程，我们就不去做详细的推导了。