正态总体均值的假设检验，我们分两种情况，第一种情况是总体方差已知的情况，我们选择的抽样 分布为正态分布；第二种情况为总体方差未知的情况，我们选择的抽样分布是 t 分布。
1，\(\sigma^2\) 已知，\(\mu\) 的假设检验：抽样分布选择为
\[z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\]
原假设：\(H_0: \mu=\mu_0\)；备择假设：\(H_1: \mu\ne \mu_0\)
拒绝域：\(\displaystyle\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right|>z_{\frac{\alpha}{2}}\)
例1，设某铁厂铁水的含碳量服从正态分布 \(N(3.90,0.098^2)\)，现从新设备炼 出的铁水中抽出六炉，测得含碳量的均值 \(\bar{x}=3.99\)。根据新设备的性能，方差不会有什么变化，问均值是否有显著变化？（\(\alpha=0.01\)）
解：原假设\(H_0:\mu=3.9\)；备择假设\(H_1: \mu\ne 3.9\)
方差已知，所以拒绝域为 \(\displaystyle\left|\frac{\bar{x}-3.9}{\sigma/\sqrt{n}}\right|>z_{\frac{\alpha}{2}}\)
这里 \(\alpha=0.01, z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.005}=2.56\)，
\[\left|\frac{\bar{x}-3.9}{\sigma/\sqrt{n}}\right|=\left|\frac{3.99-3.9}{0.098/\sqrt{6}}\right|=2.2495<2.56\]
所以可以认为均值无显著变化。
要注意的是，若选 \(\alpha=0.05\)，则 \(z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96\)，就该拒绝该假设，认为均值有显著变化。
2，\(\sigma^2\) 未知，\(\mu\) 的假设检验：抽样分布选择为
\[t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]
拒绝域为
\[\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\]
例2，某电工器材厂生产一种云母片，要求标准厚度为 \(0.13 mm\)，今测定 \(10\) 片，算得平均度厚为 \(0.146 mm\)，标准差为 \(0.016 mm\)，设生产的云母片厚度服从正态分布，试问云母片的质量是否合格？（\(\alpha=0.05\)）
解：原假设\(H_0: \mu=0.13\)，备择假设\(H_1:\mu\ne 0.13\)。
因为方差未知，选择 \(t\) 分布作为抽样分布，
\[t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\]
拒绝域为
\[\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\right|>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\]
现在 \(\alpha=0.05\)，\(t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.025}(9)=2.2622\)，
\[\left|\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\right|=\left|\frac{0.146-0.13}{0.016/\sqrt{10}}\right|=3.1622>2.2622\]
所以拒绝原假设，接受备择假设，也就是认为该批云母片不合格。