一个随机事件在已知另一个随机事件发生后的概率，称为条件概率。事件 \(B\) 在已知事件 \(A\) 发生的概率，记作 \(P(B|A)\)，它可以用公式 \( P(B|A) =\frac{P(AB)}{P(A)}\) 来计算。由此公式，我们还可以推导出求交事件概率的乘法公式
\[P(AB)=P(A)P(B|A)\]
我们先来看一个例子，来说明条件概率的概念。
例1，袋中有 \(6\) 红球，\(4\) 个黑球，取两次，不放回，已知第一次取到黑球，问第二次取到红球的概率是多少？
解：令 \(A:\) 第一次取到黑球；\(B:\) 第二次取到红球。我们用 \(P(B|A)\) 表示在事件 \(A\) 发生的情况下，事件 \(B\) 发生的概率。
我们可以用两种方法来计算条件概率。
（1）我们可以考虑在缩减空间里计算这个概率。 在第一次已经取黑球的情况下，袋中还有 \(9\) 个球，其中还有 \(6\) 个红球，所以第二次取到红球的概率为
\[P(B|A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]
（2）我们可以这么考虑，事件 \(A\) 发生的情况下，事件 \(B\) 发生的概率，我们可以将事件 \(A\) 发生，作为一个新的样本空间，那么事件 \(B\) 在 \(A\) 发生的情况下的概率，就是事件 \(AB\) 同时发生在 \(A\) 事件发生中的比重。所以
\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}}{\frac{4}{10}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]
上面的这个计算公式，可以当作条件概率的定义，因为它不需要知道缩减空间的情况。
1，条件概率：我们定义事件 \(B\) 在事件 \(A\) 发生的情况下的条件概率为
\[P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\]
2，乘法公式：由条件概率的定义，我们有
\[P(AB)=P(A)P(B|A)\]
3，条件概率的计算：（1）在缩减空间里计算，适用于缩减空间比较容易取得的情形；
（2）利用条件概率的公式计算。
例2：袋中有\(10\) 个球，\(6\) 个红球 \(4\) 个黑球，取 \(2\) 次，每次取完后放回。问：已知第一次取到黑球，第二次取到红球的概率。
解：（1）用公式计算，令 \(A:\) 第一次取到黑球；\(B:\) 第二次取到红球，因为
\[P(AB)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{6}{25}, P(A)=\frac{2}{5}\]所以
\[P(B|A)=\frac{\frac{6}{25}}{\frac{2}{5}}=\frac{3}{5}\]
（2）用缩减空间计算。因为是放回，第一次取球后，仍然是 \(10\) 个球，\(6\)红 \(4\) 黑，取到红球的概率为
\[P(B|A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]
例3，设 \(P(A)=\frac{2}{7}\)，\(P(B|A)=\frac{4}{5}\)，求 \(P(AB)\)。
解：由乘法公式，
\[P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{2}{7}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{35}\]