因为随机事件可能发生，也可能不发生，我们就需要了解它发生的可能性有多大。这就是概率的定义。
1，频率：我们对同一个试验做很多次，统计一下某个事件发生的次数，再除以总的试验次数，就差不多就是这个事件发生的可能性。也就是
\[\text{频率}=\frac{\text{事件} A \text{发生的次数}}{\text{总的试验次数}}=\frac{n_A}{n}=f_n(A)\]
其中 \(n\) 是总的试验次数，\(n_A\) 是事件 \(A\) 发生的次数。
从这个定义可以看出，频率具有下列性质：
（1）\(f_n(A)\ge 0\)；
（2）\(f_n(\Omega)=1\)；
（3）若 \(A_1, A_2,\cdots,A_n\) 两两互不相容，则 \[f_n(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+\cdots+f_n(A_n)\]
我们将上述性质公理化，就得到了概率的公理化定义。
2，概率的公理化定义：事件 \(A\) 的概率 \(P(A)\) 定义为满足下列条件的函数：
（1）\(P(A)\ge 0\)；
（2）\(P(\Omega)=1\)；
（3）若 \(A_1, A_2,\cdots,A_n\) 两两互不相容，则 \[P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)\]
概率也可以用频率的极限来定义，也就是说
\[P(A)=\lim_{n\to\infty}\frac{n_A}{n}\]
3，由概率的定义，我们可以得到概率的性质：
（1）若 \(A_1\cap A_2=\varnothing\)，则 \(P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)\)；
（2）若 \(A\subset B\)，则 \(P(B-A)=P(B)-P(A)\)；
证明：因为 \(B=(B-A)\cup A\)，而且 \((B-A)\cap A=\varnothing\)，所以由上一个性质，我们有
\[P(B)=P((B-A)\cup A)=P(B-A)+P(A)\]
移项就得到了要证明的结果。
（3）\(P(\bar{A})=1-P(A)\)；
只要在上一个性质中，令 \(B=\Omega\) 就可以得到所要的结果。
（4）加法公式：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)。
证明：\(A\cup B=(A\cup(B-A))=A\cup(B-AB)\)，又因为 \(A\cap (B-AB)=\varnothing\)，所以
\[P(A\cup B)=P(A\cup(B-AB))=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)\]
这里 \(P(B-AB)=P(B)-P(AB)\) 是应用了是第二个性质所得。