概率的公理化定义

因为随机事件可能发生，也可能不发生，我们就需要了解它发生的可能性有多大。这就是概率的定义。

1，频率：我们对同一个试验做很多次，统计一下某个事件发生的次数，再除以总的试验次数，就差不多就是这个事件发生的可能性。也就是

$频率 = \frac{事件 A 发生的次数}{总的试验次数} = \frac{n_{A}}{n} = f_{n} (A)$

其中 $n$ 是总的试验次数， $n_{A}$ 是事件 $A$ 发生的次数。

从这个定义可以看出，频率具有下列性质：

（1） $f_{n} (A) \geq 0$ ；

（2） $f_{n} (Ω) = 1$ ；

（3）若 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 两两互不相容，则 $f_{n} (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) = f_{n} (A_{1}) + f_{n} (A_{2}) + \dots + f_{n} (A_{n})$

我们将上述性质公理化，就得到了概率的公理化定义。

2，概率的公理化定义：事件 $A$ 的概率 $P (A)$ 定义为满足下列条件的函数：

（1） $P (A) \geq 0$ ；

（2） $P (Ω) = 1$ ；

（3）若 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 两两互不相容，则 $P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n})$

概率也可以用频率的极限来定义，也就是说

$P (A) = lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}$

3，由概率的定义，我们可以得到概率的性质：

（1）若 $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ ，则 $P (A_{1} \cup A_{2}) = P (A_{1}) + P (A_{2})$ ；

（2）若 $A \subset B$ ，则 $P (B - A) = P (B) - P (A)$ ；

证明：因为 $B = (B - A) \cup A$ ，而且 $(B - A) \cap A = \emptyset$ ，所以由上一个性质，我们有

$P (B) = P ((B - A) \cup A) = P (B - A) + P (A)$

移项就得到了要证明的结果。

（3） $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ ；

只要在上一个性质中，令 $B = Ω$ 就可以得到所要的结果。

（4）加法公式： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ 。

证明： $A \cup B = (A \cup (B - A)) = A \cup (B - A B)$ ，又因为 $A \cap (B - A B) = \emptyset$ ，所以

$P (A \cup B) = P (A \cup (B - A B)) = P (A) + P (B - A B) = P (A) + P (B) - P (A B)$

这里 $P (B - A B) = P (B) - P (A B)$ 是应用了是第二个性质所得。