贝叶斯公式，也叫做逆概率公式，就是已知一个事件的概率后，求这个事件来源于样本空间的哪一部分的概率。这一公式相当于全概率公式的反向问题，所以称之为逆概率公式。它的表达式为
\[P(A_k|B)=\frac{P(A_kB)}{P(B)}=\frac{P(A_k)P(A_kB)}{\sum_{i=1}^{k}P(A_i)P(B|A_i)}\]
其中第二个等式运用了全概率公式和乘法公式。
例1，一批产品来处甲、乙、丙三厂，甲厂占 \(40\%\)，乙厂占 \(35\%\)，丙厂占 \(25\%\)，次品率分别为 \(2\%, 3\%,4\%\)，现任取一件，已知是次品，问它来自于乙厂的概率是多少：
解：设 \(A:\)取到次品， \(B_1,B_2,B_3\) 为分别来自于甲、乙、丙厂，则
\begin{align*}P(B_2|A)&=\frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)}\\ &=\frac{0.35\cdot 0.03}{0.4\cdot0.02+0.35\cdot0.03+0.25\cdot0.04}\\ &=\frac{0.0105}{0.008+0.105+0.01}=\frac{0.0105}{0.0285}\\ &=\frac{21}{57}\end{align*}
例2，两个口袋，第一个袋中有 \(3\) 个白球， \(2\) 个黑球，第二个袋中有 \(5\) 个白球，\(8\) 个黑球，现任取一袋，从中取一球，问（1）取到白球的概率（2）已知取到白球，问取到第一袋的概率。
解：令 \(A:\)取到白球，\(B_1,B_2\) 为分别取到第一袋和第二袋。
（1）由全概率公式
\begin{align*}P(A)&=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{13}\\&=\frac{3}{10}+\frac{5}{26}=\frac{32}{65}\end{align*}
（2）由贝叶斯公式
\begin{align*}P(B_1|A)&=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)}\\ &=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{32}{65}}=\frac{39}{64}\end{align*}