我们先定义二维随机变量的分布函数，然后讨论了二维离散型随机变量以及它的分布律。
有些随机现象只用一个随机变量去描述是不够的，例如某个地区人群的情况，需要了解人群的身高、体重、教育程度、收入状况等等，这就需要多维随机变量的概念。
1，多维随机变量：若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是定义在同一个样本空间的上的随机变量，我们称
\[X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)\]
为 \(n\) 维或者 \(n\) 元随机变量，或者随机向量。
我们主要讨论二维的随机变量。
2，二维随机变量的分布函数：对于多维的随机变量，我们也是利用分布函数来更行研究。我们定义 \((X,Y)\) 的联合分布为
\[F(x,y)=P(X\le x, Y\le Y)=P(\{X\le x\}\cap \{Y\le y\})\]
注意到这是两个事件的交事件的概率。
由分布函数的定义，可以得到它的一些性质：
3，联合分布函数的性质：
（1）\(F(+\infty,+\infty)=1\)；
（2）\(F(-\infty,-\infty)=0, F(-\infty,y)=0, F(x,-\infty)=0\)；
（3）\(P(x_1<X\le x_2, y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\)。
4，离散型二维随机变量：若 \((X,Y)\) 只取有限值或者可数个值，我们称 \((X,Y)\) 为二维离散型随机变量。对于离散型随机变量，我们一般还是利用分布律来研究
\[P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}\]
例1，设 \(X\) 取 \(1-4\) 中的任意整数值，\(Y\) 取 \(X-4\) 中的任意整数值，求 \((X,Y)\) 的联合分布律。
解：直接计算可得
\begin{array}{ll}P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}&P(X=1,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\\ P(X=1,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}&P(X=1,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\\ P(X=2,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0& P(X=2,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\\P(X=2,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12}&P(X=2,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{12} \\ P(X=3,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=3,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot0=0\\ P(X=3,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}&P(X=3,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\\ P(X=4,Y=1)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=4,Y=2)=\frac{1}{4}\cdot0=0 \\ P(X=4,Y=3)=\frac{1}{4}\cdot0=0&P(X=4,Y=4)=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\end{array}
用表格来表示\((X,Y)\) 的联合分布律更直观
\begin{array}{c|cccc}Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4\\ \hline 1&\frac{1}{16}&0&0&0\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&0&0\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{array}