我们首先定义二维随机变量的边缘分布的定义。因为二维随机变量中的任一一个变量仍然为随机变量，它有着自身的分布函数，这就是边缘分布的定义。然后对离散型随机变量，我们定义其边缘分布律。
1，联合分布：我们以前知道二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \[F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\]
而二维随机变量中的每一个变量本身也是随机变量，它们有各自的分布函数，我们称之为随机变量的边缘分布函数。
2，边缘分布函数：\[F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x, Y<\infty)=F(x,+\infty)\]
\[F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X< +\infty, Y\le y)=F(+\infty,y)\]
3，离散型随机变量的边缘分布律：
\[p_{i,\cdot}=P(X=x_i)=\sum_jP(X=x_i,Y=y_j)=\sum_jp_{ij}\]
\[p_{\cdot,j}=P(Y=y_j)=\sum_iP(X=x_i,Y=y_j)=\sum_ip_{ij}\]
也就是说，\(P(X=x_i)\) 就是将所有 \(X=x_i\) 的概率 \(P(X=x_i, Y=y_j), j=1,2,\cdots, m\) 加起来。
例1，设 \((X,Y)\) 的联合分布律为
\begin{array}{|c|cccc|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ \hline\end{array}
解：\begin{align*}P(X=1)&=P(X=1, Y=1)+P(X=1, Y=2)\\ &\quad +P(X=1, Y=3)+P(X=1, Y=4)\\ &=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\end{align*}
同理，\[P(X=2)=\frac{1}{4},\quad P(X=3)=\frac{1}{4},\quad P(X=4)=\frac{1}{4}\]
我们用表格表示：
\begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{array}
\(Y\) 的边缘分布律为：
\begin{align*}P(Y=1)&=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)\\ &\quad +P(X=3, Y=1)+P(X=4, Y=1)\\ &=\frac{1}{16}+0+0+0=\frac{1}{16}\end{align*}
同样的计算，
\[P(Y=2)=\frac{7}{48},\quad P(Y=3)=\frac{13}{48},\quad P(Y=4)=\frac{25}{48}\]
用表格表示，
\begin{array}{c|cccc}Y&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{16}&\frac{7}{48}&\frac{13}{48}&\frac{25}{48}\end{array}
事实上，可以看出，横栏相加就是 \(Y\) 的分布律（按行相加）；纵列相加就是 \(X\) 的分布律（按列相加）。我们可以直接在原表格上添加一行一列，作为这一行的和，那么就直接得到两个变量的边缘分布。因为是在表格的最边上一行或者一列的分布，所以这是“边缘”分布。
这个例题可以这样更直接表示
\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X& 1&2&3&4&Y\\ \hline 1&\frac{1}{16}& 0&0&0&\frac{1}{16}\\ 2&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{7}{48}\\ 3&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&0&\frac{13}{48}\\ 4&\frac{1}{16}&\frac{1}{12}&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{25}{48}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\ \hline\end{array}
例2，设 \((X,Y)\) 的联合分布律为
\begin{array}{|c|cc|}\hline Y\Big{\backslash}X&1&2\\ \hline 1&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\ 2&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}\\ \hline\end{array}求 \((X,Y)\) 的边缘分布律。
解：我们求出它们的边缘分布律为
\begin{array}{|c|cc|c|}\hline Y\Big{\backslash}X&1&2&Y\\ \hline 1&\frac{1}{8}&\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\\ 2&\frac{1}{8}&\frac{1}{2}&\frac{5}{8}\\ \hline X&\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&1\\ \hline\end{array}