中心极限定理说明的是，当伯努利试验次数无限增多的时候，随机变量的分布以正态分布为极限（二项式分布以正态分布为极限）。或者独立的随机变量序列的和函数以正态分布为极限。一般的来中心极限定理说明的是，随机变量标准化以后（随机变量减去它的期望再除以它的标准差），以标准正态分布为极限。
我们仅仅叙述这些定理而不作证明。
1，独立同分布的中心极限定理：若 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\) 为独立同分布的随机变量序列，\(E(X_i)=\mu, D(X_i)=\sigma^2, i=1,2,\cdots\)，则
\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\]
以标准正态分布为极限，即
\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\le x\right\}=\Phi(x)\]
2，李雅普诺夫中心极限定理：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\) 为随机变量序列，各自具有期望 \(E(X_i)=\mu_i, D(X_i)=\sigma_i^2\)，则
\[Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}}\]
以正态分布为极限，即
\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^nX_i-\sum_{i=1}^n\mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}}\le x\right\}=\Phi(x)\]
3，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设 \(X_n\) 为服从二项式分布 \(X\sim B(n,p)\) 的随机变量序列，则
\[Y_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\]
以正态分布为极限，即
\[\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right\}=\Phi(x)\]
这些定理的形式看起来都复杂，但是仔细观察，实际上就是将随机变量像一般正态分布标准化一样， \(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，那么它的极限就是标准正态分布，这就是中心极限定律的结论。
就像最后一个定理，\(X\sim B(n,p)\)，它的期望就是 \(E(X)=np\)，方差为 \(D(X)=np(1-p)\)，标准差为 \(\sqrt{D(X)}=\sqrt{np(1-p)}\)，像正态分布标准化一样，先减去它的期望，再除以标准差，就是标准正态分布
\[\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim N(0,1), n\to \infty\]