常用统计量

统计量是不含任何未知参数的关于样本的函数。统计量是用来对总体进行研究的函数。常见的统计量有：样本均值，样本方差，样本标准差，样本原点矩与样本中心矩等等。

1，样本函数：设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为一组样本，函数 $g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 称为样本函数。

2，统计量：不含任何未知量的样本函数 $g(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，称为统计量。

3，常见的统计量：

（1）样本均值：${\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i}$；

（2）样本方差：${\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$；

（3）样本标准差：$s\sqrt{s^2}$；

（4）样本的 $k$ 阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^k$；

（5）样本的 $k$ 阶中心矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^k$；

4，样本均值的分布：

（1）$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 来自于正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，则

$$\overline{x}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

（2）$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 来自于非正态总体的样本，$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$则 $\overline{x}$ 近似服从于 $N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$（中心极限定理）。

由期望和方差的性质可直接证明。