均匀分布与指数分布是两种常见的连续型随机变量。这里我们给出均匀分布与指数分布的概率密度，以及它们的分布函数。
1，均匀分布：我们记区间\([a,b]\) 上的均匀分布为 \(X\sim U(a,b)\)。
（1）概率密度：区间 \([a,b]\) 上的均匀分布，其概率密度为
\[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]
（2）分布函数：由分布函数的定义，不难求得它的分布函数为
\[F(x)=\begin{cases}0,&x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b\\ 1,&x>b\end{cases}\]
（3）概率：均匀分布的随机变量，落在某个子区间上的概率与区间的长度成比例，所以我们称这样的分布为均匀分布。
例1，设 \(X\) 服从 \([0,10]\) 上的均匀分布，求 （1）\(P(X<3)\)；（2）\(P(X>6)；（3）\(P(3<X<8)\)。
解：由均匀分布的分布函数
\[F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\ \frac{x}{10},& 0\le x\le 10\\ 1,&x>10\end{cases}\] 可得
\[P(X<3)=F(3)=\frac{3}{10},\quad P(X>6)=F(10)-F(6)=1-\frac{6}{10}=\frac{2}{5}\]
以及\[P(3<X<8)=F(8)-F(3)=\frac{1}{2}\]
我们可以看出，这里的概率就是区间的长度在整个区间长度中的占比。这就是均匀分布的意义。
2，指数分布：若 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，记为 \(X\sim E(\lambda)\)，则
（1）概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]
（2）分布函数为
\[F(x)=\begin{cases}1- e^{-\lambda x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]
例2，某种灯泡的寿命服从参数为 \(\frac{1}{5000}\) 的指数分布，求这种灯泡寿命在 \(10000\) 小时以上的概率。
解：因为
\begin{align*}P(X\ge 10000)&=1-P(x<10000)=1-F(10000)\\ &=1-(1-e^{\frac{10000}{5000}})=e^{-2}\end{align*}