如果 \(Y=g(X)\)，而且\(X\) 是一个离散型随机变量，那么 \(Y\) 也是一个离散型随机变量，它有它自身的分布。这里我们讲解如何求离散型随机变量函数的分布律。
1，随机变量的函数：\(Y=g(X)\) 也是一个随机变量。这里 \(y=g(x)\) 是一个连续函数。
2，若 \(X\) 是离散型的，则 \(Y=g(X)\) 也是离散型的。
3，\(Y\) 的分布律可以这样求：设 \(y_i=g(x_i)\)，则 \[P(Y=y_i)=P(g(X)=y_i)=P(X=x_i)=p_i\]
也就是说，\(Y\) 的概率分布为它所对应的 \(X\) 的概率分布。只是需要注意的一点就是，如果有几个 \(x_i\) 对应一个 \(y_i\) 的话，需要将它们的概率加起来。
例1，设 \(X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}
求 （1）\(Y=X^2\)；（2）\(Y=(X-1)^2\) 的分布律。
解：（1）\(Y=X^2\)，
\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline Y&1&0&1&4\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}
因为 \(Y=1\) 对应两个 \(X\) 的值，需要将它们的概率加起来，所以 \(Y\) 的分布律为
\begin{array}{c|ccc}Y&0&1&4\\ \hline p&0.3&0.3&0.4\end{array}
（2）\(Y=(X-1)^2\)，
\begin{array}{c|cccc}X&-1&0&1&2\\ \hline Y&4&1&0&1\\ \hline p&0.2&0.3&0.1&0.4\end{array}
这里 \(Y=1\) 也是对应两个 \(X\) 的值，将它们的概率加起来就是 \(Y=1\) 的概率，
\begin{array}{c|ccc}Y&0&1&4\\ \hline p&0.1&0.7&0.2\end{array}
例2，设 \(X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}
求 （1）\(Y=\sin X\)；（2）\(Y=\cos X\) 的分布律。
解：（1）\(Y=\sin X\) ，
\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline Y&0&1&0&0\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}
所以 \(Y=\sin X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cc}Y&0&1\\ \hline p&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{array}
（2）\(Y=\cos X\)，
\begin{array}{c|cccc}X&0&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi\\ \hline Y&1&0&-1&1\\ \hline p&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{array}
所以\(Y=\cos X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cc}Y&-1&0&1\\ \hline p&\frac{1}{12}&\frac{1}{3}&\frac{7}{12}\end{array}