连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量，指的是它的取值不是有限的，也不是可数，而是在一个连续的区间里，所以我们称这为连续型随机变量。另外，连续型随机变量也可以用分布函数来定义。如果它的分布函数可以用一个变上限积分来表示，那么这样的随机变量称之为连续型随机变量。而被积分函数称之为随机变量的概率密度。

1，等车的时间：公交车每 5 分钟一趟，某人随机地到达公交车站，问他等车时间的分布。这是一个典型的连续型随机变量，等车的时间可以取区间 $[0,5]$ 之间的任一数。

2，连续型随机变量：若随机变量的分布函数 $F(x)$ 可以用一个定积分表示

$$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{inf}}f(t)dt,f(t)\ge 0$$

则我们称这样的随机变量为连续型随机变量，$f(x)$ 称为连续型随机变量的概率密度，或者密度函数。

3，概率密度的性质：

（1）$f(x)\ge 0$:

（2）${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$；

（3）$P(x_1<X\le x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$。因为函数在单点处的积分为 $0$，所以前面不等式里的不等号里面有没有等号，概率都是一样的，也就是

$$P(x_1<X\le x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx,P(x_1\le X\le x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$

$$P(x_1<X<x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dxP(x_1\le X<x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$

例1，设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}kx,& 0\le x<3\\ 2-\frac{x}{2},& 3\le x\le 4\\ 0,& \text{ 其它}\end{array}$$

求（1）$k$；（2）$F(x)$；（3）$P(1\le X\le \frac{7}{2})$。

解：（1）因为${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$，所以

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx& ={\int }_0^{3}kxdx+{\int }_3^4(2-\frac{x}{2})dx\\ & =\frac{k{x}^2}{2}{|}_0^3+(2x-\frac{x^2}{4}){|}_3^4\\ & =\frac{9k}{2}+\frac{1}{4}=1\end{array}$$

所以 ${\displaystyle \frac{9}{2}k=\frac{3}{4},k=\frac{1}{6}}$。所以

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{6}x,& 0\le x<3\\ 2-\frac{x}{2},& 3\le x\le 4\\ 0,& \text{ 其它}\end{array}$$

（2）由定义 ${\displaystyle F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt}$，当 $x<0$ 时，

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}0dt=0$$

当 $0\le x<3$ 时，

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)dt+{\int }_0^{x}f(t)dt\\ & =0+{\int }_0^x\frac{1}{6}tdt=\frac{t^2}{12}{|}_0^x\\ =\frac{x^2}{12}\end{array}$$

当 $3\le x\le 4$ 时，

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)dt+{\int }_0^{3}f(t)dt+{\int }_3^{x}f(t)dt\\ & =0+{\int }_0^3\frac{1}{6}tdt+{\int }_3^x(2-\frac{t}{2})dt=\frac{t^2}{12}{|}_0^3+(2x-\frac{x^2}{4}){|}_3^x\\ & =\frac{3}{4}+2x-\frac{x^2}{4}-6+\frac{9}{4}\\ & =2x-\frac{x^2}{4}-3\end{array}$$

当 $x>4$ 时，$F(x)=1$。

所以

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \frac{x^2}{12},& 0\le x<3\\ 2x-\frac{x^2}{4}-3,& 3\le x\le 4\\ 1,& x>4\end{array}$$

（3）求概率可以用两种方法来求，第一种用概率密度求积分

$$\begin{array}{rl}P(1\le X\le \frac{7}{2})& ={\int }_1^{\frac{7}{2}}f(x)dx\\ & ={\int }_1^3\frac{x}{6}dx+{\int }_3^{\frac{7}{2}}(2x-\frac{x}{2})dx\\ & =\frac{x^2}{12}{|}_1^3+(2x-\frac{x^2}{4}){|}_3^{\frac{7}{2}}\\ & =\frac{41}{48}\end{array}$$

第二种方法，直接利用求出来的分布函数求概率。

$$P(1\le X\le \frac{7}{2})=F(\frac{7}{2})-F(1)=2\cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{4}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{1}{12}=\frac{41}{48}$$