我们用随机变量的概率来定义一个函数，这就是随机变量的分布函数。它的定义为 \(F(x)=P(X\le x)\)，这样定义的函数就是一个普通的函数，从而我们可以用微积分的理论来处理随机变量的相关问题。
例1，设 \(X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\ \hline p&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{array}
求 \(X\) 的分布函数。
解： 由分布函数的定义，
\begin{align*}x<1, & F(x)=P(X\le x)=0\\ 1\le x<2,& F(x)=P(X\le x)=P(X=1)=\frac{1}{4}\\ 2\le x<3,& F(x)=P(X\le x)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\\ 3\le x<4,&F(x)=P(X\le x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{7}{8}\\ x\ge 4,&F(x)=P(X\le x)=1\end{align*}
所以
\[F(x)=\begin{cases}0,& x<1\\ \frac{1}{2},&1\le x<2\\ \frac{3}{4},& 2\le x<3\\ \frac{7}{8},& 3\le x<4\\ 1,&x\ge 4\end{cases}
2，分布函数的性质：
（1）分布函数是右连续函数，\(\displaystyle\lim_{x\to a^+}F(x)=f(a)\)；
（2）分布函数是不减函数，即若 \(x_2>x_1\)，则 \(F(x_2)\ge F(x_1))；
（3）\(F(-\infty)=0, F(\infty)=1\)。
（4）与概率的关系：\(F(x)=P(X\le x)\)，所以
\[P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)\]
例2，设 \(X\) 的分布律为
\begin{array}{c|cccccc}X&1&2&3&4&5&6\\ \hline p&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{array}
求 \(X\) 的分布函数。
解：与之前方法一样，我们有
\[F(x)=\begin{cases}0,&x<1\\ \frac{1}{6},&1\le x<2\\ \frac{1}{3},& 2\le x<3\\ \frac{1}{2},& 3\le x<4\\ \frac{2}{3},& 4\le x<5\\ \frac{5}{6},& 5\le x<6,\\ 1,& x\ge 6\end{cases}\]