我们计算常见离散型随机变量的数学期望，这些随机变量包括两点分布、二项式分布、泊松分布以及几何分布。
1，\(0-1\) 分布：\(P(X=0)=1-p, P(X=1)=p\)，它的期望为
\[E(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p\]
2，二项式分布：\(X\sim B(n,p), P(X=k)=C_n^kp^{k}(1-p)^{n-k}\)，它的数学期望为
\begin{align*}E(X)&=\sum_{k=0}^{n}x_kp_k=\sum_{k=0}^{n}C_n^kkp^{k}(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}\\ \sum_{k=0}^{n}\cdot\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}\\ &=np\sum_{k=0}^{n}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\end{align*}
因为 \[\sum_{k=0}^{n}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\]
是二项式分布 \(B(n-1, p)\) 中所有的可能取值的概率之和，所以
\[\sum_{k=0}^{n}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}=1\]
从而
\[E(X)=np\sum_{k=0}^{n}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}=np\]
所以二项式分布 \(B(n,p)\) 的数学期望为 \(E(X)=np\)。
3，泊松分布的期望：\(X\sim P(\lambda), P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}, k=1,2,\cdots\)，它的数学期望为
\begin{align*}E(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}k\cdot \frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\\ &=\lambda\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}e^{-\lambda}}{(k-1)!}\\ &=\lambda\sum_{l=1}^{\infty} \frac{\lambda^{l}e^{-\lambda}}{l!}\\ &=\lambda\end{align*}
这里，做变换 \(l=k-1\)，
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}e^{-\lambda}}{(k-1)!}=\lambda\sum_{l=1}^{\infty} \frac{\lambda^{l}e^{-\lambda}}{l!}\]
这是泊松分布所有可能的取值的概率，和为 \(1\)。所以泊松分布的期望为
\[E(X)=\lambda\]
4，几何分布 \(X\sim Geo(p), P(X=n)=(1-p)^{n-1}p\)，它的数学期望为
\begin{align*}E(X)&=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot(1-p)^{n-1}p\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1+1)\cdot(1-p)^{n-1}p\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\cdot(1-p)^{n-1}p+\sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n-1}p\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\cdot(1-p)^{n-1}p+1\end{align*}
现在计算前一项，
\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)\cdot(1-p)^{n-1}p&=(1-p)\sum_{n=1}^{\infty}(n-2)\cdot(1-p)^{n-1}p\\ &=(1-p)\sum_{m=1}^{\infty}m\cdot(1-p)^{m-1}p\\ &=(1-p)E(X)\end{align*}
所以我们得到
\[E(X)=(1-p)E(X)+1\]
解这个方程，得到
\[E(X)=\frac{1}{p}\]
5，总结起来，可以得到常见的离散型随机变量的数学期望，
\begin{array}{c|cccc}X&0-1&B(n,p)&P(\lambda)&Geo(p)\\ \hline E(X)&p&np&\lambda&\frac{1}{p}\end{array}