方差的性质

我们叙述并证明方差的性质，并利用方差的性质求解正态分布的方差。方差的这些性质在以后的统计部分经常用到。

方差的基本性质有：

（1）$D(C)=0$；

（2）$D(CX)=C^{2}D(X)$；

（3）$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E[(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))]$

（4）若 $X,Y$ 独立，则 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$，注意，这里不管是加还是减，都变成加。

证明：（1）$D(C)=E(C^2)-(E(C){)}^2=C^2-C^2=0$；

（2）$$\begin{array}{rl}D(CX)& =E((CX{)}^2)-(E(CX){)}^2\\ & =E(C^2{X}^2)-(CE(X){)}^2\\ & =C^{2}E(X^2)-C^2(E(X){)}^2\\ & =C^2(E(X^2)-(E(X){)}^2)\\ & =C^{2}D(X)\end{array}$$

（3）$$\begin{array}{rl}D(X+Y)& =E((X+Y{)}^2)-(E(X+Y){)}^2\\ & =E(X^2+2XY+Y^2)-(E(X)+E(Y){)}^2\\ & =E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-((E(X){)}^2+2E(x)E(Y)+(E(y){)}^2)\\ & =E(X^2)-(E(x){)}^2+E(Y^2)-(E(Y){)}^2+2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ & =D(X)+D(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))\end{array}$$

而

$$\begin{array}{rl}E[(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))]& =E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]\\ & =E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y)\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rl}D(X+Y)& =D(X)+D(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))\\ & =D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X))\cdot (Y-E(Y))]\end{array}$$

$D(X-Y)$ 的证明类似。

（4）若 $X,Y$ 独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$，由上面的计算

$$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$$

例1，设 $X,Y$ 独立，$D(X)=4,D(Y)=9$，令 $Z=5X-Y+15$，求 $D(Z)$。

解：我们知道，常数跟任何随机变量都是独立的，所以

$$\begin{array}{rl}D(Z)& =D(5X-Y+15)=D(5Z)+D(Y)+D(15)\\ & =25D(X)+D(Y)+0=109\end{array}$$

现在我们利用方差的性质求正态分布的方差。

例2，设 $X$ 服从正态分布 $X\sim N(\mu ,\sigma )$，求 $X$ 的方差。

解：我们知道正态分布的期望 \E(X)=\mu\)，而且变换 $Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，所以 $E(Y)=0$。

我们现在先求 $Y$ 的方差 $D(Y)$。$Y$ 的概率密度为$$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}},-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty }$$

所以

$$\begin{array}{rl}D(Y)& =E(Y^2)-(E(Y){)}^2=E(Y^2)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\cdot y{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-y{e}^{-\frac{y^2}{2}}{|}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy)\\ & =0+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ =1\end{array}$$

也就是 $E(Y)=1$。这里我们应用了结论 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy=\sqrt{2\pi }}$。

因为 $X=\sigma y+\mu$，

$$D(X)=D(\sigma Y+\mu )={\sigma }^{2}D(Y)+0={\sigma }^2$$

所以正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的方差就是 $D(X)={\sigma }^2$。

现在我们知道，正态分布的两个参数的意义，第一个参数 $\mu$ 就是数学期望，第二个参数 ${\sigma }^2$ 就是方差。