随机变量的数学期望

随机变量的数学期望是随机变量的最重要的数字特征。它体现了随机变量平均取值的情况。这里我们讲解了离散型与连续型随机变量的数学期望的定义与计算方法。数学期望也叫均值或者平均值。

数学期望可以认为是一种“加权平均值”，体现了随机变量取值的平均情况。例如，我们在 \(1,2,3\) 中取值 \(100\) 次，得到的情况为

\begin{array}{c|ccc}X&1&2&3\\ n_p&60&30&10\end{array}

那么这三个数值的加权平均值为 \[m=\frac{1\cdot 60+2\cdot 30+3\cdot 10}{100}=1.5\]

如果用随机变量来描述，\(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|ccc}X&1&2&3\\ p&0.6&0.3&0.1\end{array}它的平均值为

\[m=1\cdot0.6+2\cdot0.3+3\cdot0.1=1.5\]

这就是数学期望的意义，它是一概率意义下的均值。

1，数学期望：随机变量 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\) 定义为

（1）\(X\) 是离散型的，\[E(X)=\sum_{i}x_ip_i\]就是随机变量的取值乘以它对应的概率之和；

（2）\(X\) 是连续型，\[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\]

若这个积分收敛，我们称 \(X\) 的数学期望存在；若不收敛，就称 \(X\) 的数学期望不存在。

例1，设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|ccc}X&-2&0&2\\ \hline p&0.4&0.3&0.3\end{array}

求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\)。

解：由数学期望的定义

\[E(X)=\sum_{i}x_ip_i=(-2)\cdot 0.4+0\cdot 0.3+2\cdot 0.3=-0.2\]

例2，设 \(X\) 的分布律为

\begin{array}{c|cccccc}X&1&2&3&4&5&6\\ \hline p&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{array}

求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\)。

解：由数学期望的定义

\begin{align*}E(X)&=\sum_{i}x_ip_i=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}\\ &=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}\end{align*}

例3，设 \(X\) 的概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}3e^{-3x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}\]

求 \(X\) 的数学期望。

解：这是连续型的随机变量，它的数学期望为

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_0^{\infty}3xe^{-3x}dx\\ &=-xe^{-3x}-\frac{1}{3}e^{-x}\Big|_0^{\infty}=\frac{1}{3}\end{align*}

例4，设 \(X\) 的概率密度为 \[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5},&1<x<6\\ 0,&\text{其它}\end{cases}\]

求 \(X\) 的数学期望 \(E(X)\)。

解：

\begin{align*}E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_1^6\frac{1}{5}xdx\\ &=\frac{1}{10}x^2\Big|_1^6=\frac{1}{10}(36-1)\\ &=\frac{35}{10}=3.5\end{align*}