线性代数这门课程里，几乎所有的计算都需要用到初等变换。从解线性方程组，到求逆矩阵，计算行列式，确定向量组的线性相关性，都要用到这一个计算技巧。这里我们讲解一下初等变换有些什么技巧或者需要注意到的地方。
矩阵的初等（行）变换是指矩阵的三种基本运算：
- 交换两行
- 将一行乘以一个非零的数
- 将一行加上另一行的某个倍数。
当然，行列式也有初等变换。行列式的初等变换可以同时对行和列进行。但是矩阵的初等变换我们一般只对行进行。这是因为矩阵的初等变换相当于对线性方程组做高斯消元法，列变换对于线性方程组来说， 有时候并没有什么意义。当然，对于行列式的初等变换，需要注意行列式的运算性质，它有符号和倍数的变化。
对于矩阵的初等变换，有两个小小的技巧：第一，变换要按列进行，只有前面（左边）的列变成了阶梯形之后，才对后面（右边）的列进行变换；第二，每次变换，都找一个最简单的数字作为变换的基础。如果没有简单的数字，可以先做一、两步变换，得到一个最简单的数字。
我们来看两个例子。
例1：将矩阵 \(A\) 化成行最简矩阵。其中 \[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\]
解：按照我们刚才讲的，按列进行，我们先将第一列除第一个数字外，全部化成 \(0\)，因为第一个数字已经是 \(1\) ，它就是最简单的数字，我们以此为基础，开始进行初等变换。
我们将第一行加到第二行上去（第二行加上第一行），再将第一行乘以 \(2\) 加到第三行（或者准确地说，是将第三行加上第一行的两倍），将第一行乘以 \(-3\) 加到第四行上去，我们得到
\[A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&6&15&0&-3\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\]
这时候我们看见了，第一列除了第一个数字以外，其它的都变成了 \(0\)，所以第一列的变换已经完成了。现在对第二列进行变换，保持第一行不变，将第二列的其余数学化成只有第一个不为 \(0\) 外，其它的都变成 \(0\)。这里我们提一句，虽然第四列里面有一个零，看起来只需要一次变换就可以化成只有一个不为 \(0\)（不考虑第一行），但是我们不这么做，是因为之后对第二列、第三列的的变换会影响到它的结果。
我们看到第二行有一个公因子 \(3\)，我们将第二行除以 \(3\)，再将第二行乘以 \(-5\) 加到第三行，乘以 \(3\) 加到第四行，我们得到了
\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&6&15&0&-3\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&4&6\end{pmatrix}\]
再看剩下的列，我们将第三行乘以 \(4\) 加到第四行，第四行全部变成了 \(0\)。
\[A\sim\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]
我们现在看到，矩阵已经变成了一个行阶梯形。要把它变成行最简矩阵，我们要从右边到左边进行变换。将最下面一个非零行的第一个非零元的上方都变成 \(0\)，然后每一个非零先的第一个非零元也要变成 \(1\)。我们将第三行乘以 \(3\) 加到第一行，
\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]
再把第二行乘以 \(-2\) 加到第一行，然后再将第二行乘以 \(\frac{1}{2}\)，第三行乘以 \(-1\)，矩阵就变成了行最简矩阵。
\[A\sim \begin{pmatrix}1&4&8&0&7\\0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-2&0&5\\0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\]