从之前二次型的标准化过程可以看到，不同的标准化方程得到的标准形是不一样的。但是有一样其实是不变的，就是正数项与负数项的个数是唯一的，这就是二次型的惯性定理。
1，惯性定理：无论二次型 \(\vec{x}^TA\vec{x}\) 做怎样的变换 \(\vec{y}=C\vec{x}\)，其标准形中的正数项个数 \(p\) 与负数项个数 \(q\) 是由 \(A\) 唯一确定的。
这里 \(p\)：正惯性指数， \(q\)：负惯性指数，\(p-q\)：符号差，\(p+q=R(A)\)：二次型的秩。
这个定理我们不证明了。
因为正指数项与负指数项的个数是唯一的，所以我们可以把二次型规范化，也就是所有的系数都是 \(1\) 或者 \(-1\)。由惯性定理，二次型的规范形是唯一的。
2，规范二次型：\[\vec{x}^TA\vec{x}=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2\]
由正交变换化二次为标准形的理论可以得到这样的推论：
3，推论：二次型的正惯性指数 \(p\) 等于 \(A\) 的正特征值的个数（有多少重算几个）；负惯性指数 \(q\) 等于 \(A\) 的负特征值的个数（有多少重算几个）。
二次型中最重要的一种是正定二次型，它在其它一些领域有很多的应用。
4，正定二次型：如果对任何的 \(\vec{x}\ne 0\)，\(f(\vec{x})=\vec{x}^TA\vec{x}>0\)，称\(f(\vec{x})=\vec{x}^TA\vec{x}\) 为正定二次型；如果对任何的 \(\vec{x}\ne 0\)，\(f(\vec{x})=\vec{x}^TA\vec{x}<0\)，称\(f(\vec{x})=\vec{x}^TA\vec{x}\) 为负定二次型。
二次型中否正定有一个简单有效的判断方式。
5，定理：\(f(\vec{x})=\vec{x}^TA\vec{x}\) 正定 \(\Longleftrightarrow\) 标准形的系数全为正 \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 的特征值全为正。
证明：由正交变换法化二次为标准形的方法以及惯性定理可以得证。
例1，判定二次型 \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2+x_2x_3\) 是否正定。
解：二次型所对应的矩阵为
\[A=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&0\\ -\frac{1}{2}&1&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\]
现在来求它的特征值，
\[\begin{align*}|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}1-\lambda&-\frac{1}{2}&0\\ -\frac{1}{2}&1-\lambda&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&1-\lambda\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1-\lambda&0&1-\lambda\\ -\frac{1}{2}&1-\lambda&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(1-\lambda)\begin{vmatrix}1&0&1\\ -\frac{1}{2}&1-\lambda&\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1-\lambda&1\\ 0&\frac{1}{2}&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(1-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\ \frac{1}{2}&1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\left[(1-\lambda)^2-\frac{1}{2}\right]\\ &=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+\frac{1}{2})\end{align*}\]
令 \(|A-\lambda I|=0\)，得 \((1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+\frac{1}{2})=0\)。解这个方程，得到 \(\lambda_1=1>0\)， \(\lambda_{2,3}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}>0\)。
所有的特征值都大于 \(0\)，所以二次型是正定二次型。