向量组的极大无关组理论是线性空间的基础，也是研究线性方程组解的结构的基础，这一节我们来讲述这一部分的理论。
1，极大无关组：如果向量组 \(A:\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{n}\) 的一个子集 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 满足两个条件
- \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性无关；
- 任何 \(r+1\) 个向量线性相关
我们称 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 为 \(A\) 的一个极大无关组。\(r\) 称为向量组 \(A\) 的秩， \(R(A)=r\)。
对于极大无关组，我们也可以这样定义
2，极大无关组的等价定义：若
- \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性无关；
- 向量组 \(A\) 中的任何一个向量可用 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 线性表示。
我们称 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n,\vec{a}_{r}\) 为 \(A\) 的一个极大无关组。
现在我们可以证明矩阵的行秩等于矩阵的列秩。
3，定理：矩阵的（行）秩等于其列向量组的秩。
我们以前定义矩阵的秩等于其行阶梯矩阵中非零行的行数，这个定义也称为矩阵的行秩。而矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。这个定理告诉我们，矩阵的行秩等于矩阵的列秩，所以我们可以定义矩阵的秩就是行阶梯形的非零行的行数。
证明：（1）若 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2, \cdots,\vec{a}_n\) 线性无关，
\(\quad \Rightarrow \quad A\vec{x}=0\) 只有零解 \(\quad \Rightarrow \quad R(A)=n\) ，它等于向量组的秩。
（2）若 \(R(A)=r<n\)，\(\quad \Rightarrow \quad\) 取行阶梯矩阵中每一个非零行的第一个非零元所对应 \(A\) 的列，组成矩阵 \(B\)
\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) \(R(B)=r, B\vec{x}=0\) 只有零解。
\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad B\) 的列向量线性无关
\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) 添加任何 \(A\) 的列向量到 \(B\) 中的列向量组组成的向量组线性相关
\(\qquad\qquad\quad \Rightarrow \quad \) \(B\) 中的列向量为 \(A\) 中列向的极大无关组， \(R(B)=r=R(A)\)，证毕。
4，如何求极大无关组：由上面定理的证明，我们可以这样取极大无关组：
- 将矩阵化成行阶梯形
- 取每一个非零行的第一个非零元所在的列所对应的（原矩阵中的）列向量；
- 所取出的列向量组就是矩阵的列向量组的极大无关组。
下一个问题是，如何将其它向量用极大无关组表示。若 \(A\sim B\)，则 \(A\vec{x}=0\) 与 \(B\vec{x}=0\) 同解。所以 \(A\) 中列向量组之间的关系与 \(B\) 中的列向量组之间的关系相同。由此，我们得到了如何将其它向量用极大无关组表示的方法。
5，如何将其它向量用极大无关组表示：
- 将矩阵化成行最简矩阵
- 行最简矩阵列向量之间的关系就是原矩阵的列向量的关系。
这里我们要求将矩阵化成行最简矩阵，就是因为化成行最简矩阵后，非零行的第一个非零元为 \(1\)，其它的向量就用这些 \(1\) 所在的列表示就特别简单。我们来看例题。
例1，\(A=\begin{pmatrix}2&-1&-1&2\\1&1&-2&4\\ 4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\)，求 \(A\) 的列向量组的一个极大无关组，并把其它向量用极大无关组线性表示。
解：我们对 \(A\) 作初等变换
\[\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}2&-1&-1&2\\1&1&-2&4\\ 4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\2&-1&-1&2\\4&-6&2&4\\3&6&-9&9\end{pmatrix}\\&\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&-3&3&-6\\0&-10&10&-12\\0&3&-3&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&5&-5&6\\0&1&-1&-1\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&0&0&-4\\0&0&0&-3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&4\\0&1&-1&2\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&1&-2&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
我们看到，各个非零行的第一个非零元分别位于第一、二、四列，所以 \(A\) 的极大无关组可选为 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\4\\3\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\-6\\6\end{pmatrix},\vec{a}_4=\begin{pmatrix}2\\4\\4\\9\end{pmatrix}\)。
现在我们将 \(\vec{a}_3\) 用 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4\) 线性表示。从行最简矩阵的关系 \(\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}–\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\)，我们有关系 \(\vec{a}_3=-\vec{a}_1-\vec{a}_2\)。也就是
\[\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\\9\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}2\\1\\4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\\-6\\6\end{pmatrix}\]