1，向量组：一组同维数的（行或者列）向量的集合，称为一个向量组。如 \(A:\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\)
向量的维数，是指的向量中分量（元素）的个数。例如 \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\) 有三个分量（三个数字），它是三维向量。
2，行向量与列向量：行向量是只有一行的矩阵，列向量是只有一列的矩阵。
通常我们只考虑列向量，但相应的理论对于行向量一般也是成立的。如果需要的话，我们会特别指出对于行向量应该做哪些改变。
3，向量组的线性组合：给定一组实数 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\)，表达式 \[k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\]
称为向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 的一个线性组合，\(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 称为线性组合的系数。
4，线性表示：若\[\vec{b}=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\]我们称 \(\vec{b}\) 是向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 的线性组合，或者称\(\vec{b}\) 可由向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示。
例如：\(A:\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\)，则 \(\vec{b}=3\vec{a}_1-2\vec{a}_2\)。所以 \(\vec{b}\) 可由\(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 线性表示。
5，线性组合的矩阵表示：利用分块矩阵的乘法，
\[\begin{align*}\vec{b}&=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\\ &\Rightarrow\quad \begin{pmatrix}\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\ \vdots\\ k_n\end{pmatrix}=\vec{b}\end{align*}\]
由线性方程组的理论，我们有下列的定理
定理：若 \(\vec{b}\) 可由向量组 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示 \(\quad\Rightarrow \quad R(A)=R(A,\vec{b})\)，其中 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n\end{pmatrix}\)。
注意：若 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 是行向量，则 \(A=\begin{pmatrix}\vec{a}_1^T, \vec{a}_2^T,\cdots,\vec{a}_n^t\end{pmatrix}\)，就是要先将行向量转置成列向量。
6，向量组等价：
- 若向量组 \(B:\vec{b}_1, \vec{b}_2,\cdots, \vec{b}_m\) 中的每一个向量可用向量组 \(A:\vec{a}_1, \vec{a}_2,\cdots, \vec{a}_n\) 线性表示，我们称向量组 \(B\) 可由向量组 \(A\) 表示。
- 若 \(A,B\) 可相互表示，我们称这两个向量组等价。
关于向量组等价，我们有如下的：
7，定理（向量组等价）：若向量组 \(A,B\) 等价 \(\quad \Rightarrow\quad R(A)=R(B)=R(A,B)\)。
证明：因为 \(\vec{b}_i=k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n\)
\(\quad\Rightarrow\quad A\vec{x}=\vec{b}_i\)有解 \(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,\vec{b}_i)\)
\(\quad\Rightarrow\quad R(A)=R(A,B)\)，反之亦然。
例1，设 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\2\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\4\\0\end{pmatrix}， \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\\1\end{pmatrix}\)，证明 \(\vec{b}\) 能由 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) 线性表示，并求出线性表示的表达式。
解：我们解线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&=\left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 1&2&-1&0\\2&1&4&3\\ 2&3&0&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 0&1&-2&-1\\0&-1&2&1\\ 0&1&-2&-1\end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&1&1&1\\ 0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc:c} 1&0&3&2\\ 0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right)\end{align*}\]
\(R(A)=R(A,\vec{b})=2\)，所以 \(\vec{b}\) 能由 \(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\) 线性表示。又，方程组的解为
\[\vec{x}=C\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\] 所以\[\vec{b}=(-3c+2)\vec{a_1}+(2cc-1)\vec{a}_2c\vec{a}_3\]
例2，设 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}3\\1\\1\\3\end{pmatrix}, \vec{b}_1=\begin{pmatrix}2\\0\\1\\1\end{pmatrix},\vec{b}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\2\end{pmatrix},\vec{b}_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\\0\end{pmatrix}\)，证明向量组 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 与向量组 \(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\) 等价。
解：我们只需要对矩阵 \((A,B)\) 做初等变换即可。从中可以看出 \(R(A),R(B)\) 及 \(R(A,B)\)。
\[\begin{align*}(A,B)&=\left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ -1&1&0&1&-1\\ 1&1&1&0&2\\-1&3&1&2&0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ 0&4&2&2&2\\ 0&-2&-1&-1&-1\\0&6&3&3&3\end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{cc:ccc}1&3&2&1&3\\ 0&2&1&1&1\\ 0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right)\end{align*}\]
所以 \(R(A)=R(A,B)=2\)，而 \[B\sim \begin{pmatrix}2&1&3\\1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\]
我们得到 \(R(B)=2\)。所以我们有 \(R(A)=R(B)=R(A,B)=2\)，所以这两个向量组等价。