跟普通的矩阵一样，分块矩阵有初等分块阵和初等变换的概念。
1，分块初等阵：我们只对二阶的分块矩阵作讨论，更高阶的可以类似进行。我们将单位矩阵分块为 \(I=\begin{pmatrix}I_m&0\\0&I_n\end{pmatrix}\)
（1）分块对换阵 \(\begin{pmatrix}0&I_n\\ I_m&0\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}0&I_m\\ I_n&0\end{pmatrix}\);
（2）分块倍乘阵 \(\begin{pmatrix}C_m&0&I_n\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}I_m\\ C_n&0\end{pmatrix}\)，这里 \(C_m, C_n\) 都可逆；
（3）分块倍加阵：\(\begin{pmatrix}I_m&0\\ C_3&I_n\end{pmatrix}\) 或者 \(\begin{pmatrix}I_m&C_4\\ &I_n\end{pmatrix}\)。
2，性质：分块初等阵都是可逆的。 我们可以从 \(|AB|=|A||B|\) 的证明中得到这个结论。
3，初等变换：左乘或者右乘一个分块初等阵相当于对矩阵作一次初等变换（相对于块来说）。
注意，分块初等阵有些只能应用于行，有些只能应用于列。例如 \(\begin{pmatrix}0&I_n\\ I_m&0\end{pmatrix}\) 是对换两行，只能应用于行，而 \(\begin{pmatrix}0&I_m\\ I_n&0\end{pmatrix}\) 是对换两列，只能应用于列。如果我们不特别指定子块的阶，那么就没有区别。
我们应用分块矩阵的初等变换来证明这一个命题。
例：设 \(A,B,C,D\) 都是 \(n\) 阶矩阵， \(|A|\ne 0\)， \(AC=CA\)，证明 \(\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|AD-BC|\)。
解：将矩阵 \(\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 第一行左乘 \(-CA^{-1}\) 加到第二行
\[\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{pmatrix}\]
这相当于对矩阵 \(\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\) 左乘初等矩阵 \(\begin{pmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{pmatrix}\)，即
\[\begin{vmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{pmatrix}\]
矩阵\(\begin{pmatrix}I_n&0\\-CA^{-1}&I_n\end{pmatrix}\) 的行列式为 \(1\)，所以没有改变原行列式的值。现在
\[\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&B\\0&-CA^{-1}B+D\end{vmatrix}=|A||-CA^{-1}B+D|\]
由矩阵相乘的行列式 \(|AB|=|A||B|\)，我们得到
\[\begin{align*}|A||-CA^{-1}B+D|&=|-ACA^{-1}B+AD|\\ &=|-CAA^{-1}B+AD|\\ &=|-CB+AD|\end{align*}\]
这就证明我们所要的结论。这里我们用到了条件 \(AC=CA\)。