1，初等矩阵：对单位矩阵做一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。所以有三种初等矩阵：
- 初等倍乘阵: 将单位矩阵的第 \(i\) 行（或者 \(i\) 列）乘以常数 \(c\) \[I_i(c)=\begin{pmatrix}1&&&&&\\&1&&&&\\&&\ddots&&&\\ &&&c&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&1\end{pmatrix}\]
- 初等对换阵: 将单位矩阵的第 \(i\) 行与第 \(j\) 行交换（或者交换\(i\) 列与 \(j\) 列） \[I_{ij}=\begin{pmatrix}1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&0&\cdots&1&&&\\ &&\vdots&&\vdots&&\\&&1&\cdots&0&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\end{pmatrix}\]
- 初等倍加阵：将单位矩阵的第 \(i\) 行加上 \(j\) 行的 \(j\) 倍， \[I_{ij}(k)=\begin{pmatrix}1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&\cdots&k&&\\ &&\vdots&&\vdots&&\\&&0&\cdots&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&&1\end{pmatrix}\]
初等矩阵都是可逆的，这就是
2，定理：初等矩阵都是可逆的，并且 \[I_i^{-1}(c)=I_i(\frac{1}{c}), I_{ij}^{-1}=I_{ij}, I_{ij}^{-1}(k)=I_{ij}(-k)\]
我们可以直接验证这个定理。
初等矩阵的意义在于它与初等变换等价。我们有这样的
3，定理：
- 左乘一个初等矩阵，相当于对矩阵做一次相应的初等行变换；
- 右乘一个初等矩阵，相当于对矩阵做一次相应的初等列变换。
直接计算就可以证明这个定理。