用初等变换法求方阵的逆矩阵是最有效的一种方法。这一节我们讲述如何应用这种方法求逆矩阵。
1，二阶方阵的逆矩阵：我们之前推导出了二阶方阵的逆矩阵， 若 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\)，\(ad-bc\ne 0\)， 则 \[A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\]
2，矩阵可逆的充分必要条件
定理：矩阵 \(A\) 可逆 \(\Longrightarrow A\sim I\)。
这定理就是说，若一个矩阵可逆，则它可以通过初等变换化成单位矩阵。
证明：“\(\Rightarrow\)” 若 \(A\) 可逆，则对任何 \(\vec{b}\)，方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 都有解 \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\) 且解唯一。所以 \[R(A)=R(A,\vec{b})=n\]所以 \(A\) 的行最简矩阵为 \(I\)，也就是 \(A\sim I\)。
“\(\Longleftarrow\)” 若 \(A\sim I\)，则 \(A\) 通过一系列行变换化成 \(I\)。因为左乘一个初等矩阵等价于对矩阵做一次初等变换，我们有
\[A\sim I_1A \sim I_2I_1A\sim\cdots\sim I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I\]
所以 \[I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I\]
所以 \(A\) 可逆，\(A^{-1}=I_pI_{p-1}\cdots I_1\)。证毕。
从上面的证明我们看到，\[I_pI_{p-1}\cdots I_1A=I, I_pI_{p-1}\cdots I_1 I=A^{-1}\]
也就是说，如果我们对 \(A\) 作一系列初等行变换化成单位矩阵，而同样的初等行变换将单位矩阵化成 \(A\) 的逆矩阵。所以我们得到了求逆矩阵的方法。
3，求逆矩阵的方法：将单位矩阵与矩阵 \(A\) 组成一个新的矩阵 \((A,I)\)，然后对这个矩阵做初等行变换，将 \(A\) 化成单位矩阵后，\(I\) 就化成了 \(A^{-1}\)。也就是
\[(A,I)\sim (I,A^{-1})\]
我们用例子来说明这个方法。
例1：求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&-3&8\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
解：由上面的方法
\[\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 1&0&3&\vdots&0&1&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&-3&-4&\vdots&0&-4&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\0&1&0&\vdots&-2&4&-1\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\-2&4&-1\\ \frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
例2：求矩阵 \(A=\begin{pmatrix}2&3&4\\2&1&1\\ -1&1&2\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
解：\[\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}2&3&4&\vdots&1&0&0\\2&1&1&\vdots&0&1&0\\ -1&1&2&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-1&1&2&\vdots&0&0&1\\ 2&1&1&\vdots&0&1&0\\ 2&3&4&\vdots&1&0&0\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 2&1&1&\vdots&0&1&0\\ 2&3&4&\vdots&1&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&5&8&\vdots&1&0&2\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&-1&-2&\vdots&1&-2&-2\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&3&5&\vdots&0&1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&-1&\vdots&3&-5&-4\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&-1&-2&\vdots&0&0&-1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-1&2&1\\ 0&1&2&\vdots&-1&2&2\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-1&2&1\\ 0&1&0&\vdots&5&-8&-6\\ 0&0&1&\vdots&-3&5&4\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2&1\\ 5&-8&-6\\ -3&5&4\end{pmatrix}\)