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逆矩阵的定义与性质

我们有矩阵的加、减、乘法，那么如何定义矩阵的“除法”呢？这就是逆矩阵的定义。

逆矩阵的定义及性质下载

1，逆矩阵：如果两个方阵 A,B，满足 AB=BA=I，我们称 B 是 A 的逆矩阵，记为 B=A−1，A 也是 B 的逆矩阵。

2，可逆矩阵：如果 A 有逆矩阵，我们称 A 为可逆矩阵。

奇异矩阵：若 A 不可逆，我们称 A 为奇异矩阵。

非奇异矩阵：若矩阵可逆，则称为非奇异矩阵。

3，二阶方阵的逆矩阵：对于二阶方阵，我们可以直接给出它们可逆的条件与逆矩阵的表达式。

定理：设 A=(abcd)，则 A 可逆 ⟹ad−bc≠0，而且 A−1=1ad−bc(d−b−ca)。

证明： 我们记 B=(b11b12b21b22)，由 AB=I，我们有

(abcd)(b11b12b21b22)=(1001)

也就是 {ab11+bb21=1cb11+db21=0,{ab12+bb22=0cb12+db22=1

运用消元法，这两个方程组有解的充分必要条件是 ad−bc≠0。若方程组可解，我们可以解得A−1=B=1ad−bc(d−b−ca)

例1：求矩阵 A=(3456) 的逆矩阵 A−1。

解：由逆矩阵的公式

A−1=118−20(6−4−53)=(3−2−5232)

4，定理（克莱姆法则）：若 A 可逆，则 Ax→=b→ 的解为 x→=A−1b→。

证明：我们对方程两边左乘以 A−1，则

A−1Ax→=A−1b→⇒x→=A−1b→

例2：求解方程组

{3x1+4x2=35x1+6x2=7

解：从前面的例子，我们知道，A−1=(3−2−5232)。所以方程组的解为

x→=(x1x2)=(3−2−5232)(37)=(5−3)

最后我们来了解一下逆矩阵的性质。

5，逆矩阵的性质：

  • (A−1)−1=A;
  • (AB)−1=B−1A−1;
  • (AT)−1=(A−1)T。

第一个性质是显然的，我们证明第二个和第三个性质。

（2）(AB)(B−1A−1)=ABB−1A−1=AIA−1=AA−1=I，所以 (AB)−1=B−1A−1;

（3）根据转置矩阵的性质，AT(A−1)T=(A−1A)T=IT=I