逆矩阵的定义与性质

我们有矩阵的加、减、乘法,那么如何定义矩阵的“除法”呢?这就是逆矩阵的定义。

1,逆矩阵:如果两个方阵 A,B,满足 AB=BA=I,我们称 BA 的逆矩阵,记为 B=A1A 也是 B 的逆矩阵。

2,可逆矩阵:如果 A 有逆矩阵,我们称 A 为可逆矩阵。

奇异矩阵:若 A 不可逆,我们称 A 为奇异矩阵。

非奇异矩阵:若矩阵可逆,则称为非奇异矩阵。

3,二阶方阵的逆矩阵:对于二阶方阵,我们可以直接给出它们可逆的条件与逆矩阵的表达式。

定理:设 A=(abcd),则 A 可逆 adbc0,而且 A1=1adbc(dbca)

证明: 我们记 B=(b11b12b21b22),由 AB=I,我们有

(abcd)(b11b12b21b22)=(1001)

也就是 {ab11+bb21=1cb11+db21=0,{ab12+bb22=0cb12+db22=1

运用消元法,这两个方程组有解的充分必要条件是 adbc0。若方程组可解,我们可以解得A1=B=1adbc(dbca)

例1:求矩阵 A=(3456) 的逆矩阵 A1

解:由逆矩阵的公式

A1=11820(6453)=(325232)

4,定理(克莱姆法则):若 A 可逆,则 Ax=b 的解为 x=A1b

证明:我们对方程两边左乘以 A1,则

A1Ax=A1bx=A1b

例2:求解方程组

{3x1+4x2=35x1+6x2=7

解:从前面的例子,我们知道,A1=(325232)。所以方程组的解为

x=(x1x2)=(325232)(37)=(53)

最后我们来了解一下逆矩阵的性质。

5,逆矩阵的性质:

  • (A1)1=A;
  • (AB)1=B1A1;
  • (AT)1=(A1)T

第一个性质是显然的,我们证明第二个和第三个性质。

(2)(AB)(B1A1)=ABB1A1=AIA1=AA1=I,所以 (AB)1=B1A1;

(3)根据转置矩阵的性质,AT(A1)T=(A1A)T=IT=I