我们有矩阵的加、减、乘法，那么如何定义矩阵的“除法”呢？这就是逆矩阵的定义。
1，逆矩阵：如果两个方阵 \(A, B\)，满足 \(AB=BA=I\)，我们称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵，记为 \(B=A^{-1}\)，\(A\) 也是 \(B\) 的逆矩阵。
2，可逆矩阵：如果 \(A\) 有逆矩阵，我们称 \(A\) 为可逆矩阵。
奇异矩阵：若 \(A\) 不可逆，我们称 \(A\) 为奇异矩阵。
非奇异矩阵：若矩阵可逆，则称为非奇异矩阵。
3，二阶方阵的逆矩阵：对于二阶方阵，我们可以直接给出它们可逆的条件与逆矩阵的表达式。
定理：设 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}\)，则 \(A\) 可逆 \(\Longrightarrow ad-bc\ne 0\)，而且 \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c& a\end{pmatrix}\)。
证明： 我们记 \(B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{pmatrix}\)，由 \(AB=I\)，我们有
\[\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\]
也就是 \[\begin{cases}ab_{11}+bb_{21}=1\\ cb_{11}+db_{21}=0\end{cases},\quad \begin{cases}ab_{12}+bb_{22}=0\\ cb_{12}+db_{22}=1\end{cases} \]
运用消元法，这两个方程组有解的充分必要条件是 \(ad-bc\ne 0\)。若方程组可解，我们可以解得\[A^{-1}=B=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c& a\end{pmatrix}\]
例1：求矩阵 \(A=\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)。
解：由逆矩阵的公式
\[A^{-1}=\frac{1}{18-20}\begin{pmatrix}6&-4\\ -5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\]
4，定理（克莱姆法则）：若 \(A\) 可逆，则 \(A\vec{x}=\vec{b}\) 的解为 \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\)。
证明：我们对方程两边左乘以 \(A^{-1}\)，则
\[A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b} \quad\Rightarrow\quad \vec{x}=A^{-1}\vec{b}\]
例2：求解方程组
\begin{cases}3x_1+4x_2=3\\ 5x_1+6x_2=7\end{cases}
解：从前面的例子，我们知道，\(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\)。所以方程组的解为
\[\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\]
最后我们来了解一下逆矩阵的性质。
5，逆矩阵的性质：
- \((A^{-1})^{-1}=A\);
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\);
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)。
第一个性质是显然的，我们证明第二个和第三个性质。
（2）\((AB)(B^{-1}A^{-1})=ABB^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\)，所以 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\);
（3）根据转置矩阵的性质，\(A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I^T=I\)