我们有矩阵的加、减、乘法,那么如何定义矩阵的“除法”呢?这就是逆矩阵的定义。
1,逆矩阵:如果两个方阵
2,可逆矩阵:如果
奇异矩阵:若
非奇异矩阵:若矩阵可逆,则称为非奇异矩阵。
3,二阶方阵的逆矩阵:对于二阶方阵,我们可以直接给出它们可逆的条件与逆矩阵的表达式。
定理:设
证明: 我们记
也就是
运用消元法,这两个方程组有解的充分必要条件是
例1:求矩阵
解:由逆矩阵的公式
4,定理(克莱姆法则):若
证明:我们对方程两边左乘以
例2:求解方程组
解:从前面的例子,我们知道,
最后我们来了解一下逆矩阵的性质。
5,逆矩阵的性质:
; ; 。
第一个性质是显然的,我们证明第二个和第三个性质。
(2)
(3)根据转置矩阵的性质,