这一节我们研究非齐次线性方程组的理论。我们先看一个例子。
例1：解线性方程组
\begin{cases}x+10z=5\\ 3x+y-4z=-1\\ 4x+y+6z=1\end{cases}
解：在之前的课程里我们说过了，解非齐次线性方程组，我们将它的增广矩阵做初等变换，相当于对方程组做高斯消元法。
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 3&1&-4&\vdots&-1\\ 4&1&6&\vdots&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 0&1&-34&\vdots&-16\\ 0&1&-34&\vdots&-19\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&10&\vdots&5\\ 0&1&-34&\vdots&-16\\ 0&0&0&\vdots&-3\end{pmatrix}\end{align*}\]
它所对应的方程组为
\[\begin{cases}x+10z=5\\ y-34z=-16\\ 0=-3\end{cases}\]第三个方程说明了这个方程组是无解的。
相应的，我们给出下列的定义
1，定义：我们称方程组是
- 相容方程组：如果方程组有解；
- 不相容方程组：如果方程组无解。
对于非齐次线性方程组，我们有如下的结论：
2，定理（非齐次线性方程组有解无解的判定）：若
- 若 \(R(A)<R(A,\vec{b})\)，则方程组无解；
- 若 \(R(A)=R(A,\vec{b})<n\)，则方程组有无穷多个解；
- 若 \(R(A)=R(A,\vec{b})=n\)，则方程组有唯一解；
证明：（1）若 \(R(A)<R(A,\vec{b})\)，则增广矩阵的行阶梯矩阵最后一个非零行可化为 \(\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&\vdots &1\end{pmatrix}\)，它对应的方程为 \(0=1\) 不可能有解。
（2）若 \(R(A)=R(A,\vec{b})<n\)，则所有方程都是相容的，并且有 \(n-R(A)\) 个自由元。所以方程组有无穷多个解。
（3）若 \(R(A)=R(A,\vec{b})=n\)，则方程组没有自由元。增广矩阵的行最简矩阵的形式为
\[(A,\vec{b})\sim \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0&\vdots&\tilde{b}_1\\ 0&1&\cdots&0&\vdots&\tilde{b}_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\vdots&\tilde{b}_n \end{pmatrix}\]
所以方程组有唯一解 \[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tilde{b}_1\\\tilde{b}_2\\ \vdots\\ \tilde{b}_n\end{pmatrix}\]
由这个定理，如果我们只是确定一个方程组的解的情况，而不需要求出解的时候，我们只需要将增广矩阵化成行阶梯形就可以，不需要将增广矩阵化成行最简形。
我们先来求解一个方程组，然后利用上面的定理来确定方程组是否有解，有唯一解还是无穷多解。
例2：解线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\)，其中 \(A=\begin{pmatrix}2&3&1\\ 1&-2&4\\ 3&8&-2\\ 4&-1&9\end{pmatrix},\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}4\\-5\\13\\-6\end{pmatrix}\)。
解：方程组的增广矩阵为
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}2&3&1&\vdots&4\\ 1&-2&4&\vdots&-5\\ 3&8&-2&\vdots&13\\ 4&-1&9&\vdots&-6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\2&3&1&\vdots&4\\ 3&8&-2&\vdots&13\\ 4&-1&9&\vdots&-6\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&7&-7&\vdots&14\\ 0&14&-14&\vdots&28\\ 0&7&-7&\vdots&14\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&7&-7&\vdots&14\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&4&\vdots&-5\\0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&2&\vdots&-1\\0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以方程组的解为（参见如何快速地写出方程组的解？）
\[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\]
现在我们来看方程组有解无解的判定。
例3：问 \(a\) 取何值时，方程组 \begin{cases}-2x_1+x_2+x_3=-2\\ x_1-2x_2+x_3=a\\ x_1+x_2-2x_3=a^2\end{cases} 有解？并求它的通解。
解：我们将方程的增广矩阵的第一、第二行加到第三行去
\[\begin{align*}{A,\vec{b}}&=\begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& a\\ 1&1&-2&\vdots&a^2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& a\\ 0&0&0&\vdots&a^2+a-2\end{pmatrix} \end{align*}\]
第一、第二行不成比例，所以系数矩阵的秩为 \(R(A)=2\)，若方程组有解，则必有 \(a^2+a-2=0\)，即 \(a=-2, 1\)。而且方程组有无穷多个解。
若 \(a=-2\)，则
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ -2&1&1&\vdots&-2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&-3&3&\vdots&-6\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& -2\\ 0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&\vdots& 2\\ 0&1&-1&\vdots&2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以方程组的通解为\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\)
若 \(a=1\)，则
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}-2&1&1&\vdots&-2\\ 1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ -2&1&1&\vdots&-2\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&-3&3&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots& 1\\ 0&1&-1&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&\vdots& 1\\ 0&1&-1&\vdots&0\\ 0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以方程组的通解为 \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)
例4，问 \(a,b\) 取何值时，方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_2+2x_3+2x_4=1\\ -x_2+(a-3)x_3-2x_4=b\\ 3x_1+2x_2+x_3+ax_4=-1\end{cases}\) （1）无解；（2）有唯一解；（3）无穷个解？并求通解。
解：增广矩阵为
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&-1&a-3&-2&\vdots&b\\ 3&2&1&a&\vdots&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&a-3&-2&\vdots&b\\ 0&-1&-2&a-3&\vdots&-1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&a-1&0&\vdots&b+1\\ 0&0&0&a-1&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
（1）若 \(a-1=0, b+1\ne 0\)，则 \(R(A)=2\< R(A,\vec{b})=3\)，方程组无解。即若 \(a=1,b\ne -1\)，方程组无解；
（2）若 \(a\ne 1\)，则 \(R(A)= R(A,\vec{b})=3\)，方程组有唯一解。
（3）若 \(a=1,b=-1\)，则 \(R(A)= R(A,\vec{b})=2\)，方程组有无穷多个解。这时候
\[\begin{align*}(A,\vec{b})&\sim \begin{pmatrix}1&1&1&1&\vdots&0\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-1&-1&\vdots&-1\\ 0&1&2&2&\vdots&1\\ 0&0&0&0&\vdots&0\\ 0&0&0&0&\vdots&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以我们得到方程组的通解
\[\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\x_4\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}1\\-2\\ 1\\0\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}\]