从前一节我们知道，一组向量可以生成一个子空间。反过来也成立，就是每一个线性子空间可以由一组向量生成。如果一组向量是线性无关，而且线性子空间的每一个向量可以用这组向量线性表示，则这组向量称为这个线性子空间的基。
\(\mathbb{R}^n\) 中有两个特殊的子空间，一个是矩阵的零空间，一个是矩阵的列空间。零空间是指方程组 \(A\vec{x}=0\) 的所有解的集合，也称为解空间；由矩阵的列向量组所生成的子空间称为矩阵的列空间。
1，线性子空间的基：若向量组 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}\) 满足：
（1）\(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}\) 线性无关；
（2）\({\rm span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}=\mathcal{U}\)，或者说，\(\mathcal{U}\) 中的所有向量都可以用 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}\) 线性表示。
则我们称 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}\) 为线性子空间 \(\mathcal{U}\) 的一组基。\(p\) 称为 \(\mathcal{U}\) 的维数。也就是说，线性子空间的维数就等于它基中的向量的个数。
例1，过原点的直线可以表示为 \(L=\{\vec{x}|\vec{x}=t\vec{v}\}\)，它是由一个向量 \(\vec{v}\) 生成的，它的基只有一个向量 \(\vec{v}\)，所以它的维数为 \(1\)。
例2，过原点的平面 \(\Sigma=\{\vec{x}|\vec{x}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}\}\)，则它向量组 \((\vec{u},\vec{v})\) 为平面 \(\Sigma\) 的基，\(\Sigma\) 的维数为 \(2\)。
2，矩阵 \(A\) 的零空间与列空间：
矩阵的零空间为 \({\rm Null }A=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\)，也称为矩阵的解空间。它的基就是 \(A\vec{x}=0\) 的基础解系。
列空间为 \({\rm Col }A={\rm span}\{\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n\}\)，这里，\(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n\) 是矩阵 \(A\) 的列向量组。
列空间的基就是矩阵的列向量极大无关组。这是因为任何一个列向量可以用矩阵的列向量极大无关组线性表示。
例3，设 \(A=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\)，求它的零空间 \({\rm Null}A\)和列空间 \({\rm Col}A\)。
解：将矩阵做初等变换
\[\begin{align*}A&=\begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ -1&2&7&3&4\\ -2&2&9&5&5\\ 3&6&9&-5&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ 0&6&15&0&-3\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ 0&2&5&0&-1\\ 0&10&25&-1&-9\\ 0&-6&-15&4&19\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ 0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&-1&-4\\ 0&0&0&4&16\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ 0&2&5&0&-1\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&4&8&-3&-7\\ 0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1&4&8&0&5\\ 0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&-2&0&7\\ 0&1&\frac{5}{2}&0&-\frac{1}{2}\\ 0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以可以得到
\[{\rm Col}A={\rm span}\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_4\}={\rm span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\2\\2\\6\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\3\\5\\-5\end{pmatrix}\right\}\]
\[{\rm Null}A={\rm span}\left\{\begin{pmatrix}2\\-\frac{5}{2}\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-7\\\frac{1}{2}\\0\\-4\\1\end{pmatrix}\right\}\]