线性空间也可以由一组向量生成。如果一组向量是线性无关，且线性空间中的每一个向量可以用这组向量线性表示，称这组向量为线性空间的基。基中向量的个数称为线性空间的维数。向量在这组基下的表达式的系数称为这个向量在这组基下的坐标。
1，线性空间的基：若 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}\) 为线性空间 \(\mathcal{V}\) 中的一组向量，满足：
（1）\(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}\) 线性无关；
（2）\({\rm span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}=\mathcal{V}\)，也就是说，\(\mathcal{V}\) 中任一向量可用 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}\) 线性表示。
则称 \(\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}\) 为线性空间 \(\mathcal{V}\) 中的一组基。\(n\) 称为线性空间 \(\mathcal{V}\) 的维数。也就是说，线性空间的维数等于它的基中向量的个数。
例1，\(\mathbb{R}^n\) 中有一组基 \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\cdots, \vec{e}_n=\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\)，因为很显然，
（1）它们是线性无关的；
（2）\(\mathbb{R}^n\) 中的任一向量 \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\) 可以写成 \[\vec{x}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3+\cdots+x_n\vec{e}_n\]
所以 \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一组基。这组基称为 \(\mathbb{R}^n\) 中的标准正交基。
例2，\(\mathbb{P}_n\) 的一组基为 \(\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}\)。因为
（1）它们是线性无关的。因为若对任意 \(x\)，\[k_0+k_1x+k_2x^2+\cdots+k_nx^n=0\]
则 \(k_0=k_1=\cdots=k_n=0\)。
（2）对 \(\mathbb{P}_n\) 中的任一向量，\(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\)，都是 \(\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}\) 的线性组合。所以 \(\{1,x,x^2,\cdots,x^n\}\) 是 \(\mathbb{P}_n\) 的一组基。这组基称为 \(\mathbb{P}_n\) 的标准基。
2，向量的坐标：若 \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\) 为线性空间 \(\mathcal{V}\) 中的一组基，\(\vec{x}\) 为线性空间 \(\mathcal{V}\) 中的一个向量，
\[\vec{x}=x_1\vec{v}_1+x_2\vec{v}_2+\cdots+x_n\vec{v}_n\]
则称 \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 为 \(\vec{x}\) 在基 \(\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n\}\) 下的坐标。经常写成列向量的形式。
例3，\(\mathbb{R}^n\) 中的向量 \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\) 的坐标为 \((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。
例4，设 \(\vec{a}=\begin{pmatrix}7\\3\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix},\vec{a}_3=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\)，求 \(\vec{a}\) 在 \(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\) 下的坐标。
解：设 \(\vec{a}=x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2+x_3\vec{a}_3\)，则写成矩阵的形式为
\[\vec{a}=(\vec{a}_1\quad \vec{a}_2\quad \vec{a}_3)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\]
解这个方程组， 我们对它的增广矩阵做初等行变换，
\[\begin{align*}(A\vdots\vec{b})&=\begin{pmatrix}1&6&3&\vdots&7\\ 3&3&1&\vdots&3\\5&2&0&\vdots&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&6&3&\vdots&7\\ 0&-15&-8&\vdots&-18\\0&-28&-15&\vdots&-34\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&6&3&\vdots&7\\ 0&-15&-8&\vdots&-18\\0&2&1&\vdots&2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&6&3&\vdots&7\\ 0&1&0&\vdots&-2\\0&2&1&\vdots&2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&6&3&\vdots&7\\ 0&1&0&\vdots&-2\\0&0&1&\vdots&6\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&6&0&\vdots&-11\\ 0&1&0&\vdots&-2\\0&0&1&\vdots&6\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&1\\ 0&1&0&\vdots&-2\\0&0&1&\vdots&6\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以它的解为 \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}\)。也就是说，\(\vec{a}\) 在 \(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\) 下的坐标为 \((1,-2,6)\)，从而\[\vec{a}=\vec{a}_1-2\vec{a}_2+6\vec{a}_3\]
例5，证明 \(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix},\vec{a}_3=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) 为 \(\mathbb{R}^3\) 的一组基。
证明：我们证明它们是一组基，只需要证明基的两个条件即可。
（1）设 \(A=(\vec{a}_1\quad \vec{a}_2)\quad \vec{a}_3)\)，则由上题，我们知道 \(A\sim I\)，它与单位矩阵等价，所以 \(R(A)=3\)，它的列向量组线性无关，也就是说 \(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\) 线性无关；
（2） \(R(A)=3\) 所以 \(A\) 可逆，所以对于任何 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量 \(\vec{y}\)，\(A\vec{x}=\vec{y}\) 都有唯一解，也就是说
\[A\vec{x}=\vec{y}\Longrightarrow (\vec{a}_1\quad \vec{a}_2)\quad \vec{a}_3)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\vec{y}\]
有唯一解 \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，也就是说，对于任何 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量 \(\vec{y}\)，它可以写成
\[\vec{y}=x_1\vec{a}_1+x_2\vec{a}_2+x_3\vec{a}_3\]
所以任何一个 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量 \(\vec{y}\)， 都可以用 \(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\) 线性表示。
所以 \(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\) 是\(\mathbb{R}^3\) 的一组基。