这里我们证明线性空间的一些简单性质，例如，零向量是唯一的，每一个向量的负向量是唯一的等等。另外，线性子空间的定义与 \(\mathbb{R}^n\) 中的线性子空间的定义是一样的，就是一个线性空间的子集，它对加法与数乘运算封闭。
1，线性空间的零向量是唯一的。
证明：若 \(0_1\) 和 \(0_2\) 是两个零向量。则
\[0_1+0_2=0_1,\quad 0_2+0_1=0_2\]
由加法的交换性质，
\[0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2\]
所以 \(0_1=0_2\)，所以零向量中唯一的。
2，线性空间中每一个向量的负向量是唯一的。
证明：设 \(\vec{u}\) 是线性空间的一个向量，\(\vec{\alpha}\) 和 \(\vec{\beta}\) 是 \(\vec{u}\) 的两个负向量，则
\[\vec{\alpha}=\vec{\alpha}+0=\vec{\alpha}+(\vec{u}+\vec{\beta})=(\vec{\alpha}+\vec{u})+\vec{\beta}=0+\vec{\beta}=\vec{\beta}\]
所以 \(\vec{\alpha}=\vec{\beta}\)，从而负向量是唯一的。
3，对于零向量 \(\vec{0}\) 和任何向量 \(\vec{a}\)，有
\[0\vec{a}=\vec{0},\quad (-1)\vec{a}=-\vec{a},\quad \lambda\vec{0}=\vec{0}\]
证明：（1）\[\vec{a}+0\vec{a}=(1+0)\vec{a}=\vec{a}=\vec{a}+\vec{0}\]
所以 \(0\vec{a}=\vec{0}\)。
（2）\[\vec{a}+(-1)\vec{a}=(1+(-1))\vec{a}=0\vec{a}=\vec{0}\]
所以 \((-1)\vec{a}=-\vec{a}\)。
（3）\[\lambda\vec{0}=\lambda(\vec{a}+(-1)\vec{a})=\lambda\vec{a}+(-\lambda)\vec{a}=(\lambda+(-\lambda))\vec{a}=0\vec{a}=\vec{0}\]
所以 \(\lambda\vec{0}=\vec{0}\)。
4，若 \(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)，则 \(\lambda=0\) 或者 \(\vec{a}=\vec{0}\)。
证明：若 \(\lambda\ne 0\) 而 \(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)，则两边同乘以 \(\frac{1}{\lambda}\)，则
\[1\vec{a}=\frac{1}{\lambda}\vec{0}=\vec{0}\]
从而得到 \(\vec{a}=\vec{0}\)。
5，线性子空间：若 \(\mathcal{u}\subset \mathcal{V}\)，而 \(\mathcal{V}\) 是一个线性空间。若 \(\mathcal{u}\) 满足
（1）若 \(\vec{u},\vec{v}\in\mathcal{U}\)，则 \(\vec{u}+\vec{v}\in\mathcal{U}\);
（2）若 \(\vec{u}\in\mathcal{U}\)，则对任何 \(\lambda\in\mathbb{R}\)，\(\lambda\vec{u}\in\mathcal{U}\)；
（3）\(\vec{0}\in\mathcal{U}\)。
则称 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathcal{V}\) 的一个线性子空间。这里的加法与数乘与 \(\mathcal{V}\) 上定义的加法与数乘一致。
注：线性子空间本身也是线性空间，它的加法与数乘运算继承了母空间的法则。
例1，\(\mathbb{P}_{n-1}\) 是 \(\mathbb{P}_n\) 的线性子空间。
例2，设 \(C^1[a,b]\) 为 \([a,b]\) 上可微函数的集合，则 \(C^1[a,b]\) 为 \(C[a,b]\) 的线性子空间。
证明：我们知道，\(C^1[a,b]\) 是 \(C[a,b]\) 的子集。设 \(f,g\in C^1[a,b]\)，则由可微函数的运算法则
（1）\(f+g\) 也是\([a,b]\) 上可微函数，所以 \(f+g\in C^1[a,b]\)；
（2）\(\lambda f\) 也是\([a,b]\) 上可微函数，所以 \(\lambda f\in C^1[a,b]\)；
（3）零函数 \(0\) 也是可微函数，所以 \(0\in C^1[a,b]\)。
由于线性子空间的三个条件都满足，所以 \(C^1[a,b]\) 为 \(C[a,b]\) 的线性子空间。