\(\mathbb{R}^n\) 上的每一个线性变换都对应着一个矩阵，也就是说，若 \(T\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个线性变换，则有一个矩阵 \(A\)，满足 \(T(\vec{x})=A\vec{x}, \vec{x}\in \mathbb{R}^n\)，这就是线性变换的矩阵，矩阵 \(A\) 具有形式
\[A=(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2\quad \cdots\quad T\vec{e}_n)\]
它称为线性变换 \(T\) 的标准矩阵。
我们将这个结论叙述成一个定理。
定理1：设 \(T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) 是一个线性变换，则存在一个矩阵 \(A\)，使得 \(T\vec{x}=A\vec{x}\)，其中
\[A=(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2 \quad \cdots\quad T\vec{e}_n)\]
称为线性变换 \(T\) 的标准矩阵。\(\vec{e}_1, \vec{e}_2,\cdots, \vec{e}_n\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基。
证明：因为 \(T\) 是线性变换，所以
\[\begin{align*}T\vec{x}&=T\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}=T(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots+x_n\vec{e}_n)\\ &=x_1T(\vec{e}_1)+x_2T(\vec{e}_2)+\cdots+x_nT(\vec{e}_n)\\ &=(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2\quad \cdots T\vec{e}_n)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\\ &=A\vec{x},\end{align*}\]
这里 \[ A=(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2 \quad \cdots\quad T\vec{e}_n)\]
我们来求一些线性变换的矩阵。
例1，设 \(T\) 为线性变换， 将 \(\mathbb{R}^3\) 中的向量关于 \(xOy\) 平面作反射变换，求 \(T\) 所对应的矩阵。
解：因为 \[\begin{align*}T\vec{e}_1=\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad&T\vec{e}_2=\vec{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\\ T\vec{e}_3=-\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\end{align*}\]
所以 \(T\) 所对应的矩阵为
\[A=(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2\quad T\vec{e}_3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\]
例2，设 \(T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) 为将 \(\mathbb{R}^2\) 上的向量旋转 \(\theta\) 角，求 \(T\) 的标准矩阵。
解：因为 \[T\vec{e}_1=T\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta\\ \sin \theta\end{pmatrix}, \quad T\vec{e}_2=T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix}\]
所以\[A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\]
例3，\(T\) 为将向量关于直线 \(y=x\) 作反射变换，求 \(T\) 所对应的矩阵。
解：\(T\) 将 \(\vec{e}_1\) 变成 \(\vec{e}_2\)，将 \(\vec{e}_2\) 变成 \(\vec{e}_1\)，所以\[(T\vec{e}_1\quad T\vec{e}_2)=(\vec{e}_1\quad \vec{e}_2)=\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\]
例4，\(T\) 为将 \(\mathbb{R}^2\) 中的向量关于 \(y=2x\) 作反射变换，求 \(T\) 所对应的矩阵。
解：这个变换与之前的几个变换都不一样，我们不能够直接看出基的像。但是我们可以利用线性变换的定义，来求出它的矩阵。
首先，直线 \(y=2x\) 上的向量在变换下不变，在直线上选取向量 \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, T\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)，\[T\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=T(\vec{e}_1+2\vec{e}_2)=T\vec{e}_1+2T\vec{e}_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\]
另外，在过原点与 \(y=2x\) 垂直的直线上 \(y=-\frac{1}{2}x\) 上的向量在 \(T\) 下变成关于原点对称的向量。我们选取向量 \(\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)，\(T\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\)，由线性变换的定义，
\[T\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=T(-2\vec{e}_1+\vec{e}_2)=-2T\vec{e}_1+T\vec{e}_2=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\]
所以我们得到两个方程
\[\begin{align*}&T\vec{e}_1+2T\vec{e}_2=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\ &-2T\vec{e}_1+T\vec{e}_2=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\end{align*}\]
解这个方程组，将第一个方程加上第二个方程的 \(-2\) 倍，可以得到
\[5T\vec{e}_1=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix},\qquad\text{即}\quad T\vec{e}_1=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{pmatrix}\]
将第一个方程乘以 \(2\) 加上第二个方程，我们得到
\[5T\vec{e}_1=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix},\qquad\text{即}\quad T\vec{e}_1=\begin{pmatrix}\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5}\end{pmatrix}\]
所以 \[A=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\ \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{pmatrix}\]
最后我们叙述一下复合变换的结果。
定理2：若 \(T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m, \quad S:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^k\) 都是线性变换，则 \(S\circ T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^k\) 也是线性变换。若 \(T\) 的矩阵为 \(A\)，\(S\) 的矩阵为 \(B\)， 则 \( S\circ T\) 的矩阵为 \(BA\)。