\(\mathbb{R}^n\) 的一个子集 \(U\)，如果满足两个条件（对加法和数乘封闭）：
（1）若 \(\vec{u}\vec{v}\in U\)，则 \(\vec{u}+\vec{v}\in U\);
（2）若 \(\vec{u}\in U\)，则对于任意的 \(\lambda\in \mathbb{R}\)，\(\lambda \vec{u}\in U\)
则我们称 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的一个线性子空间。
有些教材将 \(\vec{0}\in U\) 也作为线性子空间的一个条件，这时为了方便确定一个集合是否为一个线性子空间而定的，事实上，在第二个条件里令 \(\lambda=0\) 就得到了\(\vec{0}\in U\)。
另外，上面的两个条件可以合并为一个条件：若 \(\vec{u},\vec{v}\in U\)，则 \(\lambda \vec{u}+\mu\vec{v}\in U\)。只要令 \(\lambda=1,\mu=1\) 就得到第一个条件，令 \(\mu=0\) 就得到第二个条件。
我们来看几个 \(\mathbb{R}^n\) 上的线性子空间的例子。
例1，过原点的直线是 \(\mathbb{R}^3\) 上的一个线性子空间。
解：记 \(L\) 为过原点的直线，那么 \(L\) 可以表示为 \(L=\{\vec{x}|\vec{x}=t\vec{d}\}\)，其中 \(\vec{d}\) 是直线 \(L\) 的方向向量。我们来验证线性子空间的三个条件。
（1）显然 \(\vec{0}\in L\)，只需要取 \(t=0\) 就行；
（2）若 \(\vec{u}=t_1\vec{d}\in L, \vec{v}=t_2\vec{d}\in L\) ，那么
\[\vec{u}+\vec{v}=t_1\vec{d}+t_2\vec{d}=(t_1+t_2)\vec{d}\in L\]
（3）\(\vec{u}=t\vec{d}\in L\)，则\[\lambda \vec{u}=\lambda(t\vec{d})=(\lambda t)\vec{d}\in L\]
所以线性子空间的三个条件都满足，所以 \(L\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 上的一个线性子空间。
例2，过原理的平面 \(\Sigma\)是 \(\mathbb{R}^3\) 上的线性子空间。
解：过原点的平面 \(\Sigma\) 的一般式方程为 \(Ax+By+Cz=0\)，它的点法式方程为 \(\vec{n}\cdot (x,y,z)=0\)。我们来验证线性子空间的三个条件。
（1）\(\vec{0}=(0,0,0)\) 满足这个方程，所以 \(\vec{0}\in \Sigma\)。
（2）设 \(\vec{u}=(x_1,y_1,z_1)\in \Sigma, \vec{v}=(x_2,y_2,z_2)\in\Sigma\)，则 \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0, \vec{n}\cdot\vec{v}=0\)，从而
\[\vec{n}\cdot(\vec{u}+\vec{v}=\vec{n}\cdot\vec{u}+\vec{n}\cdot\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=0\]
所以 \(\vec{u}+\vec{v}\in\Sigma\)。
（3）\(\vec{u}=(x,y,z)\in \Sigma\)，则
\[\vec{n}\cdot(\lambda\vec{u})=\lambda(\vec{n}\cdot\vec{u})=\vec{0}\]
所以\(\lambda\vec{u}\in\Sigma\)。
由这三个条件，我们知道 \(\Sigma\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 上的线性子空间。
注：不过原点的直线和平面不是线性子空间。因为 \(\vec{0}\) 不在其中。
例3，所有形如 \(\mathbb{U}=\{\vec{x}|\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}\}\) 的向量是 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个线性子空间。
解：（1）\(\vec{0}\in \mathbb{U}\)，因为只需要取 \(a_1=a_2=\cdot=a_{n-1}=0\)，就可以了。
（2）设 \(\vec{u}=\begin{pmatrix}0\\a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{U}\)，\(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\b_1\\ \vdots\\ b_{n-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{U}\)，则 \[\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\a_1+b_1\\ \vdots\\ a_{n-1}+b_{n-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{U}\]
（3）设 \(\vec{u}=\begin{pmatrix}0\\a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{U}\)，则
\[\lambda\vec{u}=\begin{pmatrix}0\\ \lambda a_1\\ \vdots\\ \lambda a_{n-1}\end{pmatrix}\in \mathbb{U}\]
所以，线性子空间的三个条件都满足，从而 \(\mathbb{U}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个线性子空间。
例4，设 \(\mathbb{U}=\{\vec{x}|\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\a\\1\\ 1\end{pmatrix}\}\) 不是 \(\mathbb{R}^3\) 上的线性子空间，因为 \(\vec{0}\notin \mathbb{R}^3\)
从这个例子可以看出，要证明一个集合不是线性子空间，只需要证明线性子空间中的其中一个条件不满足即可。而证明一个集合是线性子空间，就要证明所有三个条件都满足。
例5，设 \(\vec{v}_1,\vec{v}_2, \cdots,\vec{v}_p\) 是一组 \(n\) 维向量，\(\mathcal{U}\) 是 \(\vec{v}_1,\vec{v}_2, \cdots,\vec{v}_p\) 的所有线性组合的集合证明 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个线性子空间。
证明：因为
\[\mathcal{U}=\{\vec{x}|\vec{x}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_p\vec{v}_p,\quad k_i\in\mathbb{R}, 1\le i\le p\}\]
所以可以得到
（1）\(\vec{0}\in\mathcal{U}\)，因为只需要取 \(k_i=0, 1\le i\le p\) 就可以了。
（2）如果 \(\vec{u}=\lambda_1\vec{v}_1+\lambda_2\vec{v}_2+\cdots+\lambda_p\vec{v}_p\)， \(\vec{v}=\mu_1\vec{v}_1+\mu_2\vec{v}_2+\cdots+\mu_p\vec{v}_p\)，那么
\[\begin{align*}\vec{u}+\vec{v}&=(\lambda_1\vec{v}_1+\lambda_2\vec{v}_2+\cdots+\lambda_p\vec{v}_p)+(\mu_1\vec{v}_1+\mu_2\vec{v}_2+\cdots+\mu_p\vec{v}_p)\\ &=(\lambda_1+\mu_1)\vec{v}_1+(\lambda_2+\mu_2)\vec{v}_2+\cdots+(\lambda_p+\mu_p)\vec{v}_p\in \mathcal{U}\end{align*}\]
（3）设 \(\vec{u}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_p\vec{v}_p\)，则 \[\lambda\vec{u}=(\lambda k_1)\vec{v}_1+(\lambda k_2)\vec{v}_2+\cdots+(\lambda k_p)\vec{v}_p\in\mathcal{U}\]
所以线性子空间的三个条件都满足，所以 \(\mathcal{U}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的线性子空间。
2，生成子空间：由一组向量的所有线性组合构成的集合， \(\mathcal{U}=\{\vec{x}|\vec{x}=k_1\vec{v}_1+k_2\vec{v}_2+\cdots+k_p\vec{v}_p,\quad k_i\in\mathbb{R}, 1\le i\le p\}\) 称为由 \(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\) 所生成的空间，或者称为由\(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\) 扩张成的空间。有时候记为 \[\mathcal{U}={\rm span}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_p\}.\]
例6，矩阵的角空间（零空间）： \(\mathcal{U}=\{\vec{x}|A\vec{x}=0\}\) 称为矩阵 \(A\) 的零空间，或者解空间。
证明：（1）\(\vec{0}\in\mathcal{U}\)，这是因为 \(A\vec{0}=0\)；
（2）若 \(\vec{u}\in \mathcal{U},\vec{v}\in \mathcal{U}\)，则 \(A\vec{u}=0,A\vec{v}=0\)，从而
\[A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=0\]
所以 \(\vec{u}+\vec{v}\in \mathcal{U}\)。
（3）若 \(\vec{u}\in\mathcal{U}\)，则
\[A(\lambda \vec{u})=\lambda (A\vec{u})=0\]
所以 \(\lambda\vec{u}\in\mathcal{U}\)。
所以 \(\mathcal{}\) 满足线性子空间的三个条件，所以它是 \(\mathcal{R}^n\) 上的线性子空间。