这一节，我们举例说明计算行列式的一些其它方法，包括将行列式化成上、下三角形，行列式拆分，以及行列式的递推法。
行列式计算最常用的方法是降阶法。但对于有些特殊的行列式，有一些更加有效的方法。我们来了解一下这些方法。
1，化成上、下三角形行列式。
例1：计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\\ 1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&0\end{vmatrix}\]
解： 我们将第二行至第 \(n\) 行都减去第一行，得到
\[\begin{align*}|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\\ 1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots&1\\ 0&-1&0&\cdots&0\\0&0&-1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}\end{align*}\]
例2：计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}a_1&x&\cdots&x\\ x&a_2&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}\]
解：将每一行除第一行外，都减去第一行，
\[\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}a_1&x&\cdots&x\\ x&a_2&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&\cdots&a_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&x&\cdots&x\\ x-a_1&a_2-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x-a_1&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}\end{align*}\]
将第一列提出因子 \(a_1-x\)，第二列提出 \(a_2-x\)，第 \(i\) 列提出因子 \(a_i-x\)，我们得到
\[\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}a_1&x&\cdots&x\\ x-a_1&a_2-x&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x-a_1&0&\cdots&a_n-x\end{vmatrix}=(a_1-x)(a_2-x)\cdots(a_n-x)\begin{vmatrix}\frac{a_1}{a_1-x}&\frac{x}{a_2-x}&\cdots&\frac{x}{a_n-x}\\ -1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -1&0&\cdots&1\end{vmatrix}\end{align*}\]
将所有的列加到第一列，得到
\[\begin{align*}|A|&=(a_1-x)(a_2-x)\cdots(a_n-x)\begin{vmatrix}\frac{a_1}{a_1-x}&\frac{x}{a_2-x}&\cdots&\frac{x}{a_n-x}\\ -1&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -1&0&\cdots&1\end{vmatrix}\\ &=(a_1-x)(a_2-x)\cdots(a_n-x)\begin{vmatrix}\frac{a_1}{a_1-x}+\frac{x}{a_2-x}+\cdots+\frac{x}{a_n-x}&\frac{x}{a_2-x}&\cdots&\frac{x}{a_n-x}\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{vmatrix}\\ &=(a_1-x)(a_2-x)\cdots(a_n-x)\cdot\left(\frac{a_1}{a_1-x}+\frac{x}{a_2-x}+\cdots+\frac{x}{a_n-x}\right)\end{align*}\]
2，行列式拆分。首先我们有下列的定理：
定理：若其中一行的所有元素全为两个数之和，则行列式可以拆分成两个行列式之和。即
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}+b_1&\cdots&a_{in}+b_n\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ b_1&\cdots&b_n\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
我们只需要将行列式按照第 \(i\) 行展开就得到了定理的结论。
例3：已知行列式 \(\begin{vmatrix}x&y&z\\y&z&x\\z&x&y\end{vmatrix}=D\)，求行列式
\[|A|=\begin{vmatrix}ax+by&ay+bz&az+bx\\ ay+bz&az+bx&ax+by\\ az+bx&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}\] 的值。
解：我们按第一列将行列式拆成两个行列式，
\[\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}ax+by&ay+bz&az+bx\\ ay+bz&az+bx&ax+by\\ az+bx&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}ax&ay+bz&az+bx\\ ay&az+bx&ax+by\\ az&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}by&ay+bz&az+bx\\ bz&az+bx&ax+by\\ bx&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}\\ &=a\begin{vmatrix}x&ay+bz&az+bx\\ y&az+bx&ax+by\\ z&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}+b\begin{vmatrix}y&ay+bz&az+bx\\ z&az+bx&ax+by\\ x&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}\end{align*}\]
再将第一个行列式的第一列乘以 \(-b\) 加到第三列，将第二个行列式的第一列乘以 \(-a\) 加到第二列；然后在第一个行列式的第三列提出因子 \(a\)，在第二个行列式的第二列提出因子 \(b\)，我们得到
\[\begin{align*}|A|&=a\begin{vmatrix}x&ay+bz&az+bx\\ y&az+bx&ax+by\\ z&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}+b\begin{vmatrix}y&ay+bz&az+bx\\ z&az+bx&ax+by\\ x&ax+by&ay+bz\end{vmatrix}\\ &=a\begin{vmatrix}x&ay+bz&az\\ y&az+bx&ax\\ z&ax+by&ay\end{vmatrix}+b\begin{vmatrix}y&bz&az+bx\\ z&bx&ax+by\\ x&by&ay+bz\end{vmatrix}\\ &=a^2\begin{vmatrix}x&ay+bz&z\\ y&az+bx&x\\ z&ax+by&y\end{vmatrix}+b^2\begin{vmatrix}y&z&az+bx\\ z&x&ax+by\\ x&y&ay+bz\end{vmatrix} \\&=a^2\begin{vmatrix}x&ay&z\\ y&az&x\\ z&ax&y\end{vmatrix}+b^2\begin{vmatrix}y&z&bx\\ z&x&by\\ x&y&bz\end{vmatrix}\\&=a^3\begin{vmatrix}x&y&z\\y&z&x\\z&x&y\end{vmatrix}+b^3\begin{vmatrix}x&y&z\\y&z&x\\z&x&y\end{vmatrix}\\&=(a^3+b^3)D\end{align*}\]
3，行列式的递推法。有些行列式，低阶行列式与高阶行列式具有相同的形式，这时候，可以通过行列式的展开得到递推公式，利用递推公式，最后得到行列式的值。
例4：计算行列式 \[D_n=\begin{vmatrix}\alpha+\beta& \alpha\beta&&&\\ 1&\alpha+\beta&\alpha\beta&&\\ 0&1&\alpha+\beta&&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots&\alpha+\beta\end{vmatrix}\]
就是主对角线元素都是 \(\alpha+\beta\)，下方都是 \(1\)，上方都 \(\alpha\beta\)，其余元素为 \(0\)。
解：我们将行列按第一行展开，
\[\begin{align*}D_n&=(\alpha+\beta)\begin{vmatrix}\alpha+\beta& \alpha\beta&&&\\ 1&\alpha+\beta&\alpha\beta&&\\ 0&1&\alpha+\beta&&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots&\alpha+\beta\end{vmatrix}-\alpha\beta\begin{vmatrix}1& \alpha\beta&&&\\ 0&\alpha+\beta&\alpha\beta&&\\ 0&1&\alpha+\beta&&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots&\alpha+\beta\end{vmatrix}\\&= (\alpha+\beta)+\alpha\beta\begin{vmatrix}\alpha+\beta& \alpha\beta&&&\\ 1&\alpha+\beta&\alpha\beta&&\\ 0&1&\alpha+\beta&&\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots&\alpha+\beta\end{vmatrix}\\&=(\alpha+\beta)D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\end{align*}\]
第二个行列式是 \(D_{n-2}\) 是因为它在原行列式的基础上展开了两次，所以比原行列式低两次。
现在我们有了等式： \(D_n=(\alpha+\beta)D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\)。这个等式不方便递推， 我们展开括号，然后移项：
\[\begin{align*}&D_n=\alpha D_{n-1}+\beta D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\\ \Rightarrow & D_n-\alpha D_{n-1}=\beta D_{n-1}-\alpha\beta D_{n-2}\\ \Rightarrow & D_n-\alpha D_{n-1}=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2})\end{align*}\]
所以我们就得到了递推式 \(D_n-\alpha D_{n-1}=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2})\)，递推：
\[\begin{align*}D_n-\alpha D_{n-1}&=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2})\\ &=\beta(\beta(D_{n-2}-\alpha D_{n-3}))\\ &=\beta^2(D_{n-2}-\alpha D_{n-3})=\cdots \\ &= \beta^{n-2}(D_2-\alpha D_1)\end{align*}\]
因为 \[D_2=\begin{vmatrix}\alpha+\beta& \alpha\\ 1&\alpha+\beta\end{vmatrix}=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta,\qquad D_1=\alpha+\beta\]
所以\[ \begin{align*}D_n-\alpha D_{n-1}&= \beta^{n-2}(D_2-\alpha D_1)\\ &=\beta^{n-2}(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2-\alpha^2-2\alpha\beta)\\&=\beta^n\end{align*}\]
现在左边还有 \(D_{n-1}\)，我们需要再递推一次。因为 \[D_{n}=\alpha D_{n-1}+\beta^n\]再递推
\[\begin{align*}D_{n}&=\alpha D_{n-1}+\beta^n=\alpha (\alpha D_{n-2}+\beta^{n-1})+\beta^n\\ &=\alpha^2 D_{n-2}+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n\\ &=\alpha^2(\alpha D_{n-3}+\beta^{n-2})+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n\\ &=\cdots=\alpha^{n-1}D_1+\alpha^{n-2}\beta^2+\cdots+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n\\ &=\alpha^{n-1}(\alpha+\beta)+\alpha^{n-2}\beta^2+\cdots+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n\\ &= \alpha^n+\alpha^{n-1}\beta+\alpha^{n-2}\beta^2+\cdots+\alpha\beta^{n-1}+\beta^n\\&=\begin{cases}(n+1)\alpha,\quad & \alpha=\beta,\\ \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta},& \alpha\ne\beta\end{cases}\end{align*}\]
也就是说，\[D_n=\begin{cases}(n+1)\alpha,\quad & \alpha=\beta,\\ \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta},& \alpha\ne\beta\end{cases}\]