1，不定积分的定义与性质：不定积分是所有原函数的集合。也就是说，如果 \(F'(x)=f(x)\)，则 \[\int f(x)dx=F(x)+C\]
它的性质主要有：
（1）\(\displaystyle\int Cf(x)dx=C\int f(x)dx\)；
（2）\(\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)’=f(x)\)；
（3）\(\displaystyle\int f‘(x)dx=f(x)+C\)；
（4）\(\displaystyle\int \left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)。
2，不定积分基本公式：对应着导数的基本公式，可以得到不定积分的基本公式
（1）\(\displaystyle\int 0dx=C\);
（2）\(\displaystyle\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)；
（3）\(\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C\)；
（4）\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C\)；
（5）\(\displaystyle\int\sec^xdx=\tan x+C\)；
（6）\(\displaystyle\int\csc^2xdx=-\cot x+C\)；
（7）\(\displaystyle\int e^xdx=e^x+C\)；
（8）\(\displaystyle\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\)；
（9）\(\displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，这里的绝对值是因为如 \(x<0\)，我们需要作一个变量代换，将自变量变成正数，这部分的内容在不定积分的换元法讲述；
（10）\(\displaystyle\int \tan x\sec xdx=\sec x+C\)；
（11）\(\displaystyle\int \cot x\csc xdx=-\csc x+C\) ；
（12）\(\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C\)；
（13）\(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C=-\text{arccot}x+C\)。
有了这些基本公式，再加上不定积分的性质，我们可以求得一些简单的不定积分。
例1，计算 \(\displaystyle\int\sqrt{x}(1+x)dx\)。
解：\begin{align*}\int\sqrt{x}(1+x)dx&=\int(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}})dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx+\int x^{\frac{3}{2}}dx\\ &=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C\end{align*}
例2，计算\(\displaystyle\int \frac{1}{x}(2+x^2)dx\)。
解：\begin{align*}\int \frac{1}{x}(2+x^2)dx&=\int(\frac{1}{x}+x)dx\\ &=\int\frac{1}{x}dx+\int xdx\\ &=\ln|x|+\frac{1}{2}x^2+C\end{align*}