现在我们对不定积分的求法作一下总结。我们给出一般的原则，以及各种针对不同的被积函数的类型的积分方法。
求不定积分的原则一般有：
1，先化简：例如
\begin{align*}\int\sqrt{x}(1+x)dx&=\int \left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right)dx\\ &=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C\end{align*}
2，观察有没有明显的代换，例如
\begin{align*}\int\frac{x}{1+x^2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}dx\\ &=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\end{align*}
\begin{align*}\int\frac{\arctan x}{1+x^2}dx\stackrel{u=\arctan x}{=}\int udu=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\arctan x+C\end{align*}
3，观察能不能变形为熟悉的形式：
\begin{align*}\frac{dx}{\sqrt{-x^2-2x+3}}&=\int\frac{dx}{\sqrt{3-(x^2+2x)}}=\int\frac{dx}{\sqrt{3-(x^2+2x+1)+1}}\\ &=\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x+1)^2}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}\end{align*}
然后作变换：\(u=\frac{x+1}{2}, du=\frac{1}{2}dx\)，积分就变成我们反熟悉的公式
\begin{align*}\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}}&=\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\\ &=\arcsin u+C=\arcsin \frac{x+1}{2}\end{align*}
4，根据不同的被积函数选取合适的积分方法。
（1）两个函数的积，其中一个是幂函数，另一个是三角函数、指数函数、对数函数、反三角函数中的一个，这时候，适合分部积分法；
（2）如果是有理函数，则使用部分分式法；
（3）无理函数（根式函数）（a）：若根式里是一次函数 \(\sqrt[n]{ax+b}\)，则直接使用代换 \(u=\sqrt[n]{ax+b}\)；（b）：若根式里是二次函数 \(\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{z^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)，则使用三角代换；（c）若根式里是一般二次函数 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)，则先配方，再使用三角代换。
（4）三角函数的积分：使用降阶法、换元法以及其它一些三角函数恒等式简化被积函数。
（5）配合多种积分法求积分。
（6）尝试不同的代换。有时候一种代换没办法求出积分，也许换一种方法能够取得较好的效果。