我们通常所说的中值定理，是指拉格朗日中值定理：若 \(f(x)\)（1）在闭区间 \([a,b]\) 上连续；（2）在开区间 \((a,b)\) 内可导，则存在一点 \(\xi\in(a,b)\)，使得
\[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
中值定理通常用来证明一些命题或者不等式。
例1，设 \(0<b<a\)，证明 \(\displaystyle\frac{a-b}{a}<\ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}\)。
分析：因为 \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\)，如果在不等式两边同除以 \(a-b\)，则不等式变成 \(\displaystyle\frac{1}{a}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{b}\)，中间的项正好是中值定理的右边。所以可以用中值定理来证明。
证明：令 \(f(x)=\ln x\)，则 \(f(x)\) 在 \([b,a]\) 上连续，在 \((b,a)\) 内可导，所以存在 \(\xi\in(b,a)\)，使得 \[f'(x)=\frac{\ln a-\ln b}{a-b}\]
因为 \((\ln x)’=\frac{1}{x}\)，\(f'(\xi)=\frac{1}{\xi}\)， 又因为 \(b<\xi<a\)，所以 \(\frac{1}{a}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{b}\)。所以
\[\frac{1}{a}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{b}\]
两边同乘以 \(a-b\)，就得到了
\[\frac{a-b}{a}<\ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}\]