1，函数作图的步骤：（1）确定函数的定义域，以及函数的一些特性如奇偶性，周期性等等；
（2）确定函数的渐近线，主要是水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线；
（3）求一阶导数，确定函数的增减区间与极值；
（4）求二阶导数，确定函数的凹凸区间与拐点；
（5）添加一些重要的点，例如与坐标轴的交点等等；
（6）画图。
例1，作函数 \(\displaystyle y=\frac{x}{x^2-9}\) 的图形。
解：（1）函数的定义域为 \(x\ne \pm 3\)，函数是奇函数；
（2）\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0,\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2-9}=0\]
所以两边的水平渐近线都是 \(y=0\)。
\[\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -3^-}f(x)=\lim_{x\to -3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle \lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}\frac{x}{x^2-9}=-\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to -3^+}f(x)=\lim_{x\to -3^+}\frac{x}{x^2-9}=\infty\end{array}\]
所以 \(x=\pm 3\) 都是函数的垂直渐近线，要注意两边的符号不同。
没有斜渐近线（因为有水平渐近线）。
（3）\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-9)-x(2x)}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}=-\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}<0\)，所以函数在整个实数轴上单减，没有极值。
（4）\begin{align*}f^{\prime\prime}(x)&=-\frac{2x(x^2-9)^2-(x^2+9)2(x^2-9)\cdot 2x}{(x^2-9)^4}\\ &-\frac{2x(x^2-9)-4x(x^2+9)}{(x^2-9)^3}\\ &=-\frac{2x^3-18x-4x^3-36x}{(x^2-9)^3}\\ &=-\frac{2x^3-54x}{(x^2-9)^3}=\frac{2x(x^2-27)}{(x^2-9)^3}\end{align*}
令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到 \(x=0,\pm3\sqrt{3}\)。另外，函数在 \(\pm3\) 处没有二阶导数。所以 \(0,\pm3,\pm3\sqrt{3}\) 将实数轴分成六个区间。