1，函数的增减性：
（1）\(f'(x)>0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 增加；
（2）\(f'(x)<0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 减少。
2，函数的凹凸性：
（1）\(f^{\prime\prime}(x)>0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 是凹的（下凸）；
（2）\(f^{\prime\prime}(x)<0\quad\Rightarrow\quad f(x)\) 是凸的（上凸）。
3，极值存在的第一条件：
（1）若 \(x<x_0\) 时，\(f'(x)>0\)；\(x>x_0\) 时，\(f'(x)<0\)\(\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极大值点，\( f(x_0)\) 是极大值；
（2）若 \(x<x_0\) 时，\(f'(x)<0\)；\(x>x_0\) 时，\(f'(x)>0\)\(\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极小值点，\(f(x_0)\) 是极小值。
4，极值存在的第二条件：若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处二阶可导，\(f'(x_0)=0\)，则
（1） \(f^{\prime\prime}(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极大值点，\( f(x_0)\) 是极大值；
（2）\(f^{\prime\prime}(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad x_0\) 是极小值点，\(f(x_0)\) 是极小值。
5，拐点：\(f^{\prime\prime}(x)\) 在 \(x_0\) 两边变号，则 \((x_0,f(x_0))\) 是函数的拐点。
例1：设 \(y=-2x^3+6x^2-3\)，求函数的增减区间、凹凸区间、极值与拐点。
解：（1）\(f'(x)=-6x^2+12x=-6x(x-2)\)，令 \(f'(x)=0\)，得到两个点 \(x=0,2\)。我们可以在坐标轴上标注函数的增减情况
从上面的图形可以看到：
在区间 \((-\infty, 0)\cup (2,+\infty)\) 上， \(f(x)\) 减少；
在区间 \((0,2)\) 上，\(f(x)\) 增加。
\(x=0\) 是极小值点，\(f(0)=-3\) 是极小值；\(x=2\) 是极大值点，\(f(2)=5\) 是极大值。
（2）\(f^{\prime\prime}(x)=-12x+12\)，令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\)，得到一个点 \(x=1\)。我们也可以在坐标轴上考察函数的情况，
从上面的图形可以看到，\((-\infty,1)\) 上，函数是凹的；\((1,\infty)\) 上，函数是凸的。拐点是 \((1,f(1))=(1,1)\)。