复合函数的求导法，也称为链式法则。有了复合函数的求导法则，我们基本上可以求出我们所见过的大部分函数的导数了，所以要熟练掌握。而反函数在一点处的导数最难理解，这里我们也举例进行说明。
1，复合函数求导法：若 \(y=f(g(x))\)，则 \(y’=f'(g(x))g'(x)\)，这里，第一个函数是将 \(g(x)\) 看成一个整体求导。
或者， \(y=f(u),u=g(x)\)，则 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)\]
在开始不熟练的时候，可以用第二个公式。熟练了之后，应该直接应用第一个公式。
如果是更多重复合函数，同样的处理：
\[\left[f(g(h(x)))\right]’=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)\]从最外层的函数一层一层地剥开，直到最后看到自变量。
例1，求函数 \(y=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\) 的导数。
解：\begin{align*}y’&=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}[\sin(\ln(3x^2-2x+1))]’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot [\ln(3x^2-2x+1)]’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{1}{3x^2-2x+1}\cdot(3x^2-2x+1)’\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{1}{3x^2-2x+1}\cdot(6x-2)\\ &=e^{\sin(\ln(3x^2-2x+1))}\cdot\cos(\ln(3x^2-2x+1))\cdot\frac{6x-2}{3x^2-2x+1}\end{align*}
2，反函数求导法：若 \(y=f^{-1}(x)\)，则
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]
反三角函数的导数公式都可以通过这个公式导出。问题是，在求反函数在某一点处的导数的时候，经常会出现一些困难。
例2：设 \(f(x)=x^6+x^4+x^2+x+1\)，求 \([f^{-1}]'(1)\)。
解：我们记 \(y=f^{-1}(x)\)，则\(f(y)=y^6+y^4+x^2+1=x\)，
\begin{align*}\left[f^{-1}(x)\right]’&=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{6y^5+4y^3+2y}\end{align*}
现在的问题是怎么取值。因为求的导数是 \(x=1\) 时的导数，也就是 \(1=x=f(y)\)，所以\(y=0\)，所以
\[[f^{-1}]'(1)=1\]