1，导数和定义：函数在一点 \(x_0\) 处的导数定义为
\begin{align*}f'(x_0)&=\lim{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ &=\lim_{\Delta x=0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{align*}
这几个定义都是一样的，只是写法不一样而已。
2，定理（可导的必要条件）：函数在一点 \(x=x_0\) 处可导 \(\quad\Rightarrow\quad\) 函数在\(x=x_0\) 处连续。
一句话总结就是：可导必连续。也就是说，如果知道函数可导，那么它首先是连续的。反过来就不一定对，也就是说，函数连续不一定可导。
3，函数在一点处的切线、法线方程：
（1）切线方程：函数在点 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程为 \[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]
（2）法线方程：函数在点 \((x_0,y_0)\) 处的法线方程为 \[y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\]
例1，设函数 \(\phi(x)\) 在点 \(x=a\) 处连续， \(f(x)=(x-a)\phi(x)\)， 求 \(f'(a)\)。
解：很多同学上来就直接对函数求导，这是不行的，因为我们不知道 \(\phi(x)\) 是不是可导。所以只能应用函数导数的定义，
\begin{align*}f'(a)&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\phi(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a}\phi(x)\\ &=\phi(a)\end{align*}
最后一个等式是因为 \(\phi(x)\) 是连续的，所以它的极限值等于函数值。
例2，求曲线 \(y=x^4-3\) 在点 \((1,-2)\) 处的切线与法线方程。
解：因为 \(y’=4x^3\)，所以 \(y'(1)=4\)。切线方程为
\[y-(-2)=4(x-1)\quad \Rightarrow\quad y=4x-6\]
法线方程为
\[y-(-2)=-\frac{1}{4}(x-1)\quad \Rightarrow\quad y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\]