我们分别复习平面图形绕 \(x\) 轴和 \(y\) 轴旋转所得的旋转体的体积。
1，\(y=f(x),x=a,x=b,y=0\) 所围成的图形分别绕 \(x\) 轴和绕 \(y\) 轴旋转的旋转体的体积
\[V_x=\int_a^b\pi f^2(x)dx,\qquad V_y=\int_a^b2\pi xf(x)dx\]
2，\(y=f(x),y=g(x),x=a,x=b\) 围成的图形分别绕 \(x\) 轴和绕 \(y\) 轴旋转所得的旋转体
体积：
\[V_x=\int_a^b\pi(g^2(x)-f^2(x))dx,\qquad V_y=\int_a^b2\pi x(g(x)-f(x))dx\]
3，同理，若平面图形由 \(x=h_1(y), x=h_2(y), y=c, y=d\) 所围成，
则 \[V_x=\int_c^d2\pi y(h_2(y)-h_1(y))dy,\qquad V_y=\int_c^d\pi(h_2^2(y)-h_1^2(y))dy\]
例1，设平面图形由 \(y=x^3,x=2,y=0\) 分别绕 \(x\) 轴与 \(y\) 轴旋转所得的旋转体的体积。
解：平面区域的图形为
绕 \(x\) 旋转的体积为
\begin{align*}V_x&=\int_0^2\pi (x^3)^2dx=\int_0^2\pi x^6dx\\ &=\frac{\pi}{7}x^7\Big|_0^2=\frac{128\pi}{7}\end{align*}
绕 \(y\) 轴旋转所得的体积为
\begin{align*}V_y&=\int_0^22\pi x\cdot x^3dx=2\pi\int_0^2 x^4dx\\ &=2\pi\cdot\frac{x^5}{5}\Big|_0^2=\frac{64\pi}{5}\end{align*}
例2，求由 \(y=x^2,x=y^2\) 围成的平面图形分别绕 \(x\) 轴与绕 \(y\) 轴旋转所得的旋转体的体积。
解：平面区域的图形为
上曲线为 \(y=\sqrt{x}\)，下曲线为 \(y=x^2\)，所以绕 \(x\) 旋转的旋转体的体积为
\begin{align*}V_x&=\int_0^1\pi \left[(\sqrt{x})^2-(x^2)^2\right]dx=\pi\int_0^1(x-x^4)dx=\frac{\pi x^2}{2}-\frac{\pi x^5}{5}\Big|_0^1\\ &=\frac{3\pi}{10}\end{align*}
绕 \(y\) 轴旋转所得的旋转体体积为
\begin{align*}V_y&=2\pi\int_0^1x(\sqrt{x}-x^2)dx=2\pi\left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{4}x^4\right)\Big|_0^1\\ &=\frac{4\pi}{5}-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{10}\end{align*}