有理函数的积分总是可以求出来的。求有理函数的一般方法为部分分式法。就是有理函数可以分解成简单分式之和，而这些简单分式总是可以求积分的。
1，有理函数：\(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)，其中 \(P(x),Q(x)\) 都是多项式。
2，真分式：\(P(x)\) 的阶小于 \(Q(x)\) 的阶，那么有理函数\(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 称为真分式。
如果有理函数不是真分式，可以应用多项式除法将假分式化成一个多项式与一个真分式之和。
3，部分分式：若有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 为真分式，则它可化成四类简单分式之和： \(\displaystyle \frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^m},\frac{Bx+D}{x^2+px+q}, p^2-4q<0, \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^m}, p^2-4q<0\)。
（1）若 \(Q(x)\) 有单因子 \(x-a\)，则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)的部分分式中含有项 \(\displaystyle\frac{A}{x-a}\)；
（2）若 \(Q(x)\) 有因子 \((x-a)^m\)，则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有 \(m\) 项 \[\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-a)^m}\]
（3）若 \(Q(x)\) 有因子 \(x^2+px+q, p^2-4q\)，则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有一项 \(\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\)；
（4）若 \(Q(x)\) 有因子 \((x^2+px+q)^m\)，则有理函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的部分分式中有 \(m\) 项\[\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^m}\]
例1，求积分\(\displaystyle\int\frac{x^3}{x+5}dx\)。
解：因为分子的阶比分母的阶高，所以先应用多项式除法将其化成真分式，
\[\frac{x^3}{x+1}=x^2-5x+25-\frac{125}{x+5}\]
所以积分为
\begin{align*}\int\frac{x^3}{x+1}dx&=\int\left(x^2-5x+25-\frac{125}{x+5}\right)dx\\ &=\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+25x-125\ln|x+5|+C\end{align*}
例2，求积分 \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx\)。
解：因为分母有因子 \((x+1)^2\) 和 \(x-1\)，所以
\[\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}\]
通分，令两边的分子相等，我们得
\[A(x-1)(x+1)+B(x-1)+C(x+1)^2=x^2+1\]
我们可以将左边展开，比较等式两边同阶次的系数，得到一个方程组，求解这个方程组，从而求出 \(A,B,C\)。但是更简便的方式是直接用 \(x\) 的一些值代入等式，直接求出这些未知常数。
在等式两边令 \(x=1\)，得到
\[4C=2\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}\]
令 \(x=-1\)，得\[-2B=2\quad\Rightarrow \quad B=-1\]
上面取这两个数字，是因为 \(x-1\) 和 \(x+1\) 是 \(Q(x)\) 的因式，取这两个值可以让上面的等式两边各只剩一项。
现在没有特别的值可以取，就取最简单的数字，令 \(x=0\)，得
\[-A-B+C=1\quad\Rightarrow\quad -A+1+\frac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}\]
所以积分为
\begin{align*}\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}dx&=\int\left(\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}\right)dx\\ &=\frac{1}{2}\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln|x-1|+C\\ &=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C\end{align*}
例3，求积分 \(\displaystyle\int\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}\)。
解：我们先对被积函数作部分分式分解。
\[\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}\]
通分以后，令两边的分子相等，得到
\[A(x-1)(x^2+2x+2)+B(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x-1)^2=x\]
令 \(x=1\)，得到 \(5B=1\)，所以 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\)。
令 \(x=0\)，得到 \(-2A+2B+D=0\)，将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入，得到
\[2A-D=\frac{2}{5}\]
令 \(x=2\)，得到 \(10A+10B+2C+D=2\)，将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入，得到\[10A+2C+D=0\]
令 \(x=-1\)，得到 \(-2A+B-4C+4D=-1\)，将 \(\displaystyle B=\frac{1}{5}\) 代入，得到
\[2A+4C-4D=\frac{6}{5}\quad \Rightarrow\quad A+2C-2D=\frac{3}{5}\]
所以得到方程组
\begin{cases}2A-D=\frac{2}{5}\\ 10A+2C+D=0\\ A+2C-2D=\frac{3}{5}\end{cases}
解此方程组，我们得到
\[A=\frac{1}{25}, C=-\frac{1}{25}, D=-\frac{8}{25}\]
所以，
\begin{align*}\int\frac{xdx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}&=\int\left(\frac{1}{25}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{x+8}{x^2+2x+2}\right)dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{25}\int\frac{1}{2}\frac{2x+16}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\int\frac{2x+2+14}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}dx \\ &\quad +\frac{14}{50}\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\ln(x^2+2x+2)\\ &\quad+\frac{7}{25}\int\frac{1}{(x+1)^2+1}dx\\ &=\frac{1}{25}\ln|x-1|-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{50}\ln(x^2+2x+2)\\&\quad+\frac{7}{25}\arctan (x+1)+C\end{align*}