这里我们给出一些形式的三角函数的积分方法。当然，更多的积分方法也可以在一些教材和著作中找到，我们不去介绍所有这些类型的积分。
三角函数的恒等式很多，它们之间的导数也有各种各样的等式成立，所以衍生出各种类型的积分方法。
1，如果是 \(\displaystyle\int \sin ^m xdx, \int \cos^m xdx\) 这两种类型的积分：
（1）若 \(m\) 为奇数，则使用换元法，首先提出一个函数一次方，然后利用平方和公式 \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)；
（2）若 \(m\) 为偶数，则利用倍角公式降阶：\(\displaystyle\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\displaystyle\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\)。
例1，求\(\displaystyle\int \sin^3 xdx\)。
解：这是第一种情形，我们可以将被积函数变成一个偶次方乘以一个一次方，
\[\int \sin^3 xdx=\int \sin^2 x\sin x dx =\int (1-\cos^2 x) \sin x dx\]
我们令 \( u=\cos x, du=-\sin x dx\)，则
\[\begin{align*}\int \sin^3 xdx&=\int (1-\cos^2 x) \sin x dx=\int (1-u^2)(-du) \\ &=\frac{1}{3}u^3-u+C=\frac{1}{3} \cos^3 x-\cos x+C\end{align*}\]
例2，求 \(\displaystyle\int \cos^2 xdx\)。
解：这是第二种情形，
\(\displaystyle\int \cos^2 xdx =\int \frac{1+\cos 2x}{2} dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C\]
注：\(\displaystyle\int \sin^m xdx\)、\(\displaystyle\int \cos^m xdx\) 也可以用递推法
2，\(\displaystyle\int \sin^m x \cos^n xdx\) 这种类型的积分：
（1）\(m\) 或 \(n\) 有一个为奇数，提出一个一次方，然后换元；
（2）\(m\) 和 \(n\) 都是偶数，用二倍角公式降阶；
（3）\(m=n\) 为偶数，则可以利用正弦函数的二倍角公式降阶：\(\displaystyle\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\)
例3，求\(\displaystyle\int \sin^2 x \cos^3 x dx\)。
解：\[\int \sin^2 x \cos^3 x dx =\int \sin^2 x\cos^2 x\cdot\cos xdx=\int \sin^2 x (1-\sin^2 x)\cdot\cos xdx\]
我们令 \(u=\sin x,du=\cos xdx\)，则
\[\begin{align*}\int \sin^2 x \cos^3 x dx&=\int u^2 (1-u^2) du =\frac{1}{3} u^3-\frac{1}{5} u^5+C\\ & =\frac{1}{3}\sin^3 x-\frac{1}{5}\sin^5 x +C\end{align*}\]
例4，求 \(\displaystyle\int \sin^2 x \cos^4 xdx\)
解：两个指数都是偶数，
\[\begin{align*}\int \sin^2 x \cos^4 xdx&=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2 dx\\ &=\frac{1}{8}\int (1-\cos 2x)(1+2\cos2x+\cos^2 2x)dx\\ &=\frac{1}{8}\int (1+\cos2x-\cos^2 2x-\cos^3 2x)dx\\ &=\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\int \cos^2 2xdx-\int \cos^3 2xdx\\ &=\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\int \frac{1+\cos 4x}{2}dx-\int \cos^2 2x\cdot\cos 2xdx\\ &=\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x-\int (1-\sin^2 2x)\cos 2xdx\\ &\quad(u=\sin 2x, du=2\cos2xdx)\\ &=-\frac{3}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\frac{1}{8}\sin 4x-\int \frac{1}{2}(1-u^2)du\\ &=-\frac{3}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}u^3+C\\ & =-\frac{3}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x-\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\sin^3 2x+C\\ & =-\frac{7}{8}x+\frac{1}{16}\sin 2x+\frac{1}{6}\sin^3 2x-\frac{1}{8}\sin 4x+C\end{align*}\]
例5，求\(\displaystyle\int\sin^2x\cos^2xdx\)
解：两个指数相等，都是偶数，
\[\begin{align*}\int\sin^2x\cos^2xdx& =\int \left(\sin x\cos x\right)^2dx=\int \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 dx\\ & =\frac{1}{4}\int\sin^2 2xdx=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos4x}{2}dx\\ &=\frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin 4x+C\end{align*}\]
3，\(\displaystyle\int \tan^m x\sec^n xdx\)
（1）\(n\) 是偶数，分一个\(\displaystyle\sec^2 x\) 出来 ，然后换元；
（2）\(m\) 是奇数，分一个\(\displaystyle \tan x\cdot\sec x\) 出来，然后换元
例6，求\(\displaystyle\int \tan^2x\cdot\sec^4 xdx\)。
解：\(n=4\) 是偶数，
\[\begin{align*}\int \tan^2x\cdot\sec^4 xdx& =\int \tan^2x\sec^2x\cdot\sec^2x dx\\& =\int \tan^2 x\cdot\left(\tan^2+1\right) \sec^2 xdx\\ &\quad u=\tan x, du=\sec^2 xdx\\ &=\int u^2(u^2+1)du =\frac{1}{5}u^5+\frac{1}{3}u^3+C\\& =\frac{1}{5}\tan^5 x+\frac{1}{3}\tan^x+C\end{align*}\]
例7，求\(\displaystyle\int \tan^3x \sec x dx\)。
解：\(m=3\) 是奇数，
\[\begin{align*}\int \tan^3x \sec x dx& =\int \tan^2 x\left(\tan x\cdot\sec x\right)dx\\ &\quad u=\sec x, du=\sec x\tan x dx\\ &=\int (u^2-1)du=\frac{1}{3}u^3-u+C\\ & =\frac{1}{3}\sec^3x-\sec^x+C\end{align*}\]
4，积化和差
公式回顾：
\[\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]
\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]
\[\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\]
\[\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\]
\[ \sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}\]
\[ \cos A\cos B=\frac{\cos (A-B)+\cos (A+B)}{2}\]
例8，求\(\displaystyle\int\sin 4x \sin 5x dx\)。
解：\[\begin{align*}\int\sin 4x \sin 5x dx& =\int \frac{1}{2}\left[\cos (-x)-\cos 9x\right]dx\\& =\frac{1}{2}\left(-\sin(-x)-\frac{1}{9}\sin 9x\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{18}\sin 9x+C\end{align*}\]
5，半角代换
公式回顾：\(\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}\)，\(\displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)，\(\displaystyle \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\displaystyle\qquad\qquad\ \ dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)，\(\displaystyle\frac{x}{2}=\arctan t\)，\(\displaystyle x=2\arctan t\)
例9，求\(\displaystyle\int \csc xdx\)。
解：\[\begin{align*}\int \csc xdx&=\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2dt}{1+t^2}\\&=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C =\ln|\tan \frac{x}{2}|+C\end{align*}\]
而 \[\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\frac {1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x\]
所以
\[\displaystyle\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C\]
6，求\(\displaystyle \int\frac{1}{\csc x}dx\)。
解：\[\begin{align*} \int\frac{1}{\csc x}dx&=\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx\\ & =\int \frac {\sin x}{1-\cos ^2 x}dx \\ &\quad u=\cos x, du=-\sin x dx\\ &=\int \frac{du}{u^2-1}\end{align*}\]
剩下的部分用有理函数积分法就可以了。
注：参见 菲赫金哥尔茨 著《微积分学教程》中有理函数积分方法