我们通过原函数的定义来定义不定积分。所谓一个函数的原函数就是这个函数是它的原函数的导数。不定积分就是一个函数的所有的原函数的集合。
不定积分的定义来自于这样的问题：
1， 如果已知 \(f(x)=F'(x)\)，那么 \(F(x)=?\)
我们称这样的\(F(x)\) 是 \(f(x)\)的原函数。
2，原函数：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数，那么 \(F(x)+C\)也是\(f(x)\)的原函数。
对 \(F(x)+C\) 求导就得到了这个结论。由这个结论，我们就有了不定积分的定义。
定义：我们称 \(f(x)\) 的所有原函数的集合为 \(f(x)\) 的不定积分，表示为
\[\int f(x)dx=F(x)+C\]
我们称 \(f(x)\) 为被积函数，\(x\)为积分变量，\(\int\) 为积分号。
对于一个函数的原函数的存在性，我们有如下的定理：
3，定理：若\(f(x)\)在区间上连续，则 \(f(x)\)在此区间上有原函数，即不定积分存在。
这个定理我们不去证明。
这个定理的条件是充分的，但不是必要的。存在一些不连续的函数，它们也有原函数。这里我们不展开讲了。
4，基本积分公式：由基本的求导公式，我们可以直接得到这些基本的积分公式：
（1）\(\displaystyle\int0dx=C\quad\Leftrightarrow\quad C’=0\)
（2）\(\displaystyle\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\Leftrightarrow\quad (x^n)’=n\cdot x^{n-1}\)
（3）\(\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+c\)
（4）\(\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+c\)
（5）\(\displaystyle\int\sec^2 xdx=\tan x+c\)
（6）\(\displaystyle\int\csc^2 xdx=-\cot x+c\)
（7）\(\displaystyle\int\sec x\cdot\tan x dx=\sec x+c\)
（8）\(\displaystyle\int\csc x\cdot\cot x dx=-\csc x+c\)
（9）\(\displaystyle\int\frac{1}{x} dx= \ln|x|=c\)
（10）\(\displaystyle\int e^x dx=e^x+c\)
（11）\(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c=-\arccos x+c\)
（12）\(\displaystyle\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+c=-\text{arccot} x+c\)
（13）\(\displaystyle\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c\)
5，由导数的性质，我们可以直接推导出不定积分的性质：
（1）\(\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)’=f(x)\)
（2）\(\displaystyle\left(\int F(x)’dx\right)’=F(x)+C\)
（3）\(\displaystyle\int cf(x)dx=c\int f(x)dx\)
（4）\(\displaystyle\int[f(x)\pm g(x)]=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\)
例1，求积分\(\displaystyle\int\left(e^x-3\cos x + \frac{1}{1+x^2}\right)dx\)。
解：\begin{align*}\int\left(e^x-3\cos x + \frac{1}{1+x^2}\right)dx&=\int e^xdx-3\int \cos xdx+\int \frac{dx}{1+x^2}\\ & =e^x-3\sin x+\arctan x+C\end{align*}
例2，求积分\(\displaystyle\int\sqrt{x}(1-x+x^2)dx\)。
解：\[\begin{align*}e\int\sqrt{x}(1-x+x^2)dx&=\int\left(\sqrt{x}-x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{5}{2}}\right)dx\\&=\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int x^{\frac{3}{2}}dx+\int x^{\frac{5}{2}}dx\\ & =\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\frac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}+C\\ &=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}+C\end{align*}\]
例3，求\(\displaystyle\int \frac{2x^4+x^2+3}{1+x^2}dx\)
解：\[ \begin{align*}\int \frac{2x^4+x^2+3}{1+x^2}dx&=\int \frac {2x^4+2x^2-x^2+4}{x^2+1}dx\\ &=\int\left(2x^2+\frac{-x^2+4}{x^2+1}\right)dx\\ &=\int\left(2x^2+\frac{-x^2-1+5}{x^2+1}\right)dx\\ &=\int \left(2x^2-1+\frac{5}{x^2+1}\right)dx\\ &=\frac{2}{3}x^3-x+5\arctan x+C\end{align*}\]